«Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времён Евклида до наших дней» — популярная книга по математике Мартина Айгнера и Гюнтера Циглера .

Книга посвящена Палу Эрдёшу , который часто называл «Книгой» место, в котором Бог хранит лучшие доказательства математических теорем. В своей лекции в 1985 году Эрдёш сказал: «Верить в Бога не обязательно, но в Книгу верить стоит».

Книга выдержала шесть изданий на английском языке, дважды издавалась на русском. Была переведена также на венгерский, испанский, итальянский, китайский, корейский, немецкий, персидский, польский, португальский, турецкий, французский и японский языки.

Содержание

Первое издание «Доказательства из Книги» содержало 32 главы, пятое — 44. Каждая глава посвящена одной теореме; часто обсуждается несколько доказательств, а также близкие результаты.

Книга охватывает широкий круг математических областей: теорию чисел , геометрию , анализ , комбинаторику и в частности теорию графов . Сам Эрдёш вносил много предложений по книге, но умер до публикации.

Темы

Теория чисел

• Шесть доказательств бесконечности множества простых чисел
• Постулат Бертрана
• Биномиальные коэффициенты (почти) никогда не являются степенями
• Представления чисел в виде сумм двух квадратов
• Закон взаимности квадратичных вычетов
• Каждое конечное кольцо с делением — поле
• Некоторые иррациональные числа
• Три раза о ${\displaystyle \pi ^{2}/6}$

Геометрия

• Третья проблема Гильберта : разбиения многогранников
• Прямые на плоскости и разложения графов
• Задача о направлениях
• Три применения формулы Эйлера
• Теорема Коши о жёсткости
• Касание симплексов
• Каждое большое точечное множество имеет тупой угол
• Гипотеза Борсука

Математический анализ

• Множества, функции и гипотеза континуума
• Во славу неравенств
• Основная теорема алгебры
• Один квадрат и нечётное число треугольников
• Теорема Пойа о многочленах
• О лемме Литтлвуда и Оффорда
• Котангенс и прием Герглотца
• Задача Бюффона об игле

Комбинаторика

• Принцип Дирихле и двойной счёт
• Плиточные разбиения прямоугольников
• Три знаменитых теоремы о конечных множествах
• Тасование карт
• Пути на решетке и определители
• Формула Кэли для числа деревьев
• Тождества и биекции
• Дополнения до полных латинских квадратов

Теория графов

• Задача о пяти красках для плоских графов
• Как охранять музей ( Задача о картинной галерее )
• Теорема Турана о графах
• Связь без ошибок
• Хроматическое число графов Кнезера
• О друзьях и политиках
• Вероятность (иногда) упрощает перечисление

См. также

• Что такое математика?
• Числа и фигуры

Примечания

Литература

• Айгнер М. Циглер Г. Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времен Евклида до наших дней. — Мир, 2006.
• Айгнер М. Циглер Г. Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времен Евклида до наших дней. — Издательство «Лаборатория знаний» (ранее «БИНОМ. Лаборатория знаний»), 2014. — ISBN 978-5-9963-2736-2 . (Перевод 4-го английского издания)
• А. Щетников. (рус.) // Квантик . — 2014. — № 9 . — С. 8—11 .