Оператор Собеля — дискретный дифференциальный оператор , вычисляющий приближённое значение градиента яркости изображения. Результатом применения оператора Собеля в каждой точке изображения является либо вектор градиента яркости в этой точке, либо его норма . Используется в области обработки изображений , в частности, часто применяется в алгоритмах выделения границ .

Описание

Оператор Собеля основан на свёртке изображения небольшими сепарабельными целочисленными фильтрами в вертикальном и горизонтальном направлениях, поэтому его относительно легко вычислять. С другой стороны, используемая им аппроксимация градиента достаточно грубая, особенно это сказывается на высокочастотных колебаниях изображения.

Оператор вычисляет градиент яркости изображения в каждой точке. Так находится направление наибольшего увеличения яркости и величина её изменения в этом направлении. Результат показывает, насколько «резко» или «плавно» меняется яркость изображения в каждой точке, а значит, вероятность нахождения точки на грани, а также ориентацию границы. На практике вычисление величины изменения яркости (вероятности принадлежности к грани) надёжнее и проще в интерпретации, чем расчёт направления.

Математически градиент функции двух переменных для каждой точки изображения (которой и является функция яркости) — двумерный вектор , компонентами которого являются производные яркости изображения по горизонтали и вертикали. В каждой точке изображения градиентный вектор ориентирован в направлении наибольшего увеличения яркости, а его длина соответствует величине изменения яркости. Это означает, что результатом оператора Собеля в точке, лежащей в области постоянной яркости, будет нулевой вектор , а в точке, лежащей на границе областей различной яркости, — вектор, пересекающий границу в направлении увеличения яркости.

Формализация

Строго говоря, оператор использует ядра ${\displaystyle 3\times 3}$ , с которыми сворачивают исходное изображение для вычисления приближённых значений производных по горизонтали и по вертикали. Пусть ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — это исходное изображение, а ${\displaystyle \mathbf {G} _{x}}$ и ${\displaystyle \mathbf {G} _{y}}$ — два изображения, на которых каждая точка содержит приближённые производные по ${\displaystyle x}$ и по ${\displaystyle y}$ . Они вычисляются следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {G} _{y}={\begin{bmatrix}+1&+2&+1\\0&0&0\\-1&-2&-1\\\end{bmatrix}}*\mathbf {A} \quad {\mbox{and}}\quad \mathbf {G} _{x}={\begin{bmatrix}-1&0&+1\\-2&0&+2\\-1&0&+1\end{bmatrix}}*\mathbf {A} }$

где ${\displaystyle *}$ обозначает двумерную операцию свертки.

Координата ${\displaystyle x}$ здесь возрастает «направо», а ${\displaystyle y}$ — «вниз». В каждой точке изображения приближённое значение величины градиента можно вычислить путём использования полученных приближенных значений производных:

${\displaystyle \mathbf {G} ={\sqrt {{\mathbf {G} _{x}}^{2}+{\mathbf {G} _{y}}^{2}}}}$ (имеется в виду поэлементно).

Используя эту информацию, мы можем также вычислить направление градиента:

${\displaystyle \mathbf {\Theta } =\operatorname {arctan} \left({\mathbf {G} _{y} \over \mathbf {G} _{x}}\right)}$ ,

где, к примеру, угол Θ равен нулю для вертикальной границы, у которой тёмная сторона слева.

Уточнение

Поскольку функция яркости известна только в дискретных точках, мы не можем определить производные до тех пор, пока не положим яркость дифференцируемой функцией , которая проходит через эти точки. С этой дополнительной предпосылкой производную дифференцируемой функции яркости можно вычислить как от функции, с которой взяты замеры — точки изображения. Оказывается, что производные в любой отдельной точке есть функции яркости от всех точек изображения. Однако приближения их производных можно определить с большей или меньшей степенью точности.

Оператор Собеля представляет собой более неточное приближение градиента изображения, но он достаточно качественен для практического применения во многих задачах. Точнее, оператор использует значения интенсивности только в окрестности ${\displaystyle 3\times 3}$ каждого пикселя для получения приближения соответствующего градиента изображения, и использует только целочисленные значения весовых коэффициентов яркости для оценки градиента.

Расширение на другое количество измерений

Оператор Собеля состоит из двух отдельных операций :

• Сглаживание треугольным фильтром в перпендикулярном к производной направлении: ${\displaystyle h(-1)=1;\quad h(0)=2;\quad h(1)=1.}$
• Нахождение простого центрального изменения в направлении производной: ${\displaystyle h'(-1)=1;\quad h'(0)=0;\quad h'(1)=-1.}$

Формулы фильтра Собеля для производных изображения в разных пространствах для ${\displaystyle x,y,z,t\in (0,-1,1)}$ :

• одномерное пространство : ${\displaystyle h_{x}'(x)=h'(x);}$
• двухмерное : ${\displaystyle h_{x}'(x,y)=h'(x)h(y);}$
• трёхмерное : ${\displaystyle h_{x}'(x,y,z)=h'(x)h(y)h(z);}$
• четырёхмерное : ${\displaystyle h_{x}'(x,y,z,t)=h'(x)h(y)h(z)h(t).}$

Вот пример трёхмерного ядра Собеля для оси ${\displaystyle z}$ :

${\displaystyle h_{z}'(:,:,-1)={\begin{bmatrix}+1&+2&+1\\+2&+4&+2\\+1&+2&+1\end{bmatrix}};\quad h_{z}'(:,:,0)={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}};\quad h_{z}'(:,:,1)={\begin{bmatrix}-1&-2&-1\\-2&-4&-2\\-1&-2&-1\end{bmatrix}}.}$ .

Технические детали

Как следует из определения, оператор Собеля можно реализовать простыми техническими и программными средствами: для приближения вектор-градиента нужны только восемь пикселей вокруг точки изображения и целочисленная арифметика. Более того, оба дискретных фильтра, описанные выше, можно разделить:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}+1&0&-1\\+2&0&-2\\+1&0&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}+1&0&-1\end{bmatrix}};\quad \quad {\begin{bmatrix}+1&+2&+1\\0&0&0\\-1&-2&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}+1\\0\\-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2&1\end{bmatrix}},}$

и две производные, ${\displaystyle \mathbf {G} _{x}}$ и ${\displaystyle \mathbf {G} _{y}}$ , теперь можно вычислить как

${\displaystyle \mathbf {G} _{x}={\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}}*\left({\begin{bmatrix}+1&0&-1\end{bmatrix}}*\mathbf {A} \right);\quad \quad \mathbf {G} _{y}={\begin{bmatrix}+1\\0\\-1\end{bmatrix}}*\left({\begin{bmatrix}1&2&1\end{bmatrix}}*\mathbf {A} \right).}$

Раздельность этих вычислений может привести к уменьшению арифметических действий с каждым пикселем.

Применение свёртки ${\displaystyle K}$ к группе пикселей ${\displaystyle P}$ можно представить псевдокодом :

N(x, y) = Сумма { K(i, j).P(x-i, y-j)}, для i, j от −1 до 1.

N(x, y) представляет собой результат применения матрицы свёртки K к P.

Программная реализация оператора Собеля может эффективно использовать SIMD -расширения системы команд современных процессоров (т. н. векторизация кода), при этом выигрыш в скорости вычисления оператора может составлять до пяти раз по сравнению с высокоуровневой реализацией . Ручное кодирование на языке ассемблера позволяет обогнать по скорости такие компиляторы, как Microsoft Visual C++ и Intel C++ Compiler .

Вычисление оператора Собеля элементарно распараллеливается на произвольное число потоков (в пределе каждую точку результирующего изображения можно вычислять независимо от соседних). Например, при наличии двух процессоров ( ядер ) верхний полукадр изображения может быть обработан одним из них, а нижний — другим.

Примеры

Результатом применения оператора Собеля является двумерная карта градиента для каждой точки. Её можно обработать и показать как картинку, на которой участки с большой величиной градиента (в основном, грани) будут видны как белые линии. Нижеприведённые изображения иллюстрируют это на примере простого изображения:

Оператор Щарра

Оператор Собеля сглаживает паразитные эффекты на изображении, вызываемые чисто центрально-дифференциальным оператором , но не обладает полной вращательной симметрией . Щарр исследовал улучшение этого свойства и пришёл к выводу, что лучшие результаты даёт следующее ядро :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}+3&+10&+3\\0&0&0\\-3&-10&-3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}+3&0&-3\\+10&0&-10\\+3&0&-3\end{bmatrix}}.}$

См. также

• Цифровая обработка изображений
• Компьютерное зрение
• Выделение границ
• Оператор Кэнни
• Градиент
• Перекрёстный оператор Робертса (простейший оператор выделения границ)
• Дискретный оператор Лапласа
• Оператор Прюитт

Примечания

Литература

• Sobel I., Feldman G. «A 3x3 Isotropic Gradient Operator for Image Processing», 1968 (неопубл.).
• Duda R., Hart P. Pattern Classification and Scene Analysis. — John Wiley and Sons, 1973. — P. 271—272. (Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. Пер. с англ. Вайнштейна Г.Г. и Васильковского А.М. — М.: Мир, 1976.)

Ссылки

• от 28 декабря 2009 на Wayback Machine в Digital Bibliography & Library Project
• от 9 мая 2011 на Wayback Machine в OpenCV