Жорданов тотиент или Функция Жордана — количество ${\displaystyle k}$ - кортежей натуральных чисел меньших либо равных ${\displaystyle n}$ , образующих вместе с ${\displaystyle n}$ набор взаимно простых (в совокупности) чисел. Функция является обобщением функции Эйлера , которая равна ${\displaystyle J_{1}}$ . Функция носит имя французского математика Жордана .

Определение

Функция Жордана мультипликативна и может быть вычислена по формуле

${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)\,}$ , где ${\displaystyle p}$ пробегает простые делители числа ${\displaystyle n}$ .

Свойства

• ${\displaystyle \sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}\,}$ ,

что можно записать на языке свёрток Дирихле как

${\displaystyle J_{k}(n)\star 1=n^{k}\,}$ ,

а через обращения Мёбиуса как

${\displaystyle J_{k}(n)=\mu (n)\star n^{k}}$ .

Поскольку производящая функция Дирихле ${\displaystyle \mu }$ равна ${\displaystyle 1/\zeta (s)}$ , а производящая функция Дирихле ${\displaystyle n^{k}}$ равна ${\displaystyle \zeta (s-k)}$ , ряд для ${\displaystyle J_{k}}$ превращается в

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}}$ .

• для ${\displaystyle J_{k}(n)}$ равен

${\displaystyle {\frac {n^{k}}{\zeta (k+1)}}}$ .

• Пси-функция Дедекинда равна

${\displaystyle \psi (n)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)}}}$ ,

и при исследовании определения (обратим внимание, что каждый множитель в произведении по простым является круговым многочленом ${\displaystyle p_{-k}}$ ), можно показать, что арифметические функции, определённые как ${\displaystyle {\frac {J_{k}(n)}{J_{1}(n)}}}$ или ${\displaystyle {\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}}$ , являются целочисленными мультипликативными функциями.

• ${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)}$ .

Порядок групп матриц

Полная линейная группа матриц порядка ${\displaystyle m}$ над ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ имеет порядок

${\displaystyle |\operatorname {GL} (m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{k}(n).}$

Специальная линейная группа порядка ${\displaystyle m}$ над ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ имеет порядок

${\displaystyle |\operatorname {SL} (m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=2}^{m}J_{k}(n).}$

Симплектическая группа матриц порядка ${\displaystyle m}$ над ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ имеет порядок

${\displaystyle |\operatorname {Sp} (2m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}(n).}$

Первые две формулы были открыты Жорданом.

Примеры

Списки в OEIS J ₂ в , J ₃ в , J ₄ в , J ₅ в , от J ₆ до J ₁₀ в списках — .

Мультипликативные функции, определённые отношением J ₂ (n)/J ₁ (n) в , J ₃ (n)/J ₁ (n) в , J ₄ (n)/J ₁ (n) в , J ₅ (n)/J ₁ (n) в , J ₆ (n)/J ₁ (n) в , J ₇ (n)/J ₁ (n) в , J ₈ (n)/J ₁ (n) в , J ₉ (n)/J ₁ (n) в , J ₁₀ (n)/J ₁ (n) в , J ₁₁ (n)/J ₁ (n) в .

Примеры отношений J _2k (n)/J _k (n): J ₄ (n)/J ₂ (n) в , J ₆ (n)/J ₃ (n) в и J ₈ (n)/J ₄ (n) в .

Примечания

Литература

• Dickson L. E. History of the Theory of Numbers , Vol. I. — , 1971. — С. 147. — ISBN 0-8284-0086-5 .
• M. Ram Murty. Problems in Analytic Number Theory. — Springer-Verlag , 2001. — Т. 206. — С. 11. — ( ). — ISBN 0-387-95143-1 .
• Jozsef Sándor, Borislav Crstici. Handbook of number theory II. — Dordrecht: Kluwer Academic, 2004. — С. 32–36. — ISBN 1-4020-2546-7 .
• Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble. . 5 марта 2016 года.
• Dorin Andrica, Mihai Piticari. // Acta universitatis Apulensis. — 2004. — № 7 .

Ссылки

• Мерзляков Ю.И. Рациональные группы. — Москва: «Наука», 1980. — (Современная алгебра).