В теории функций комплексного переменного в честь Ш. Э. Пикара названы две теоремы, традиционно называемые большая и малая теоремы Пикара.

Малая теорема Пикара

Формулировка

Областью значений целой функции , отличной от константы, является вся комплексная плоскость , за исключением, быть может, лишь одной точки.

Доказательство

Малая теорема Пикара является частным случаем теоремы Ландау . Покажем, что, предположив, что целая функция ${\displaystyle f(z)}$ выпускает два различных конечных значения ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и не равна тождественно постоянному, мы немедленно придем к противоречию на основе теоремы Ландау.

Рассмотрим функцию ${\displaystyle F(z)={\frac {f(z)-a}{b-a}}}$ . Она голоморфна во всей плоскости, не принимает значений ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$ и не равна тождественно постоянному. Следовательно, найдется такая точка — примем её за начало координат, в которой производная ${\displaystyle \backprime F'(0)=\beta }$ не равна нулю. Пусть разложение нашей функции в степенной ряд будет ${\displaystyle F(z)=\alpha +\beta z+a_{2}z^{2}+...}$ .

Так как функция ${\displaystyle F(z)}$ голоморфна и не принимает значений ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$ внутри круга произвольного радиуса ${\displaystyle R}$ : ${\displaystyle |z|<R}$ , то по теореме Ландау имеем ${\displaystyle R<\Omega (\alpha ,\beta )}$ .

Противоречивость этого неравенства очевидна, так как в левой его части стоит произвольно большое число ${\displaystyle R}$ , а в правой — постоянное число ${\displaystyle \Omega (\alpha ,\beta )}$ .

Большая теорема Пикара

Пусть функция ${\displaystyle f}$ голоморфна в проколотой окрестности ${\displaystyle U(z_{0})}$ точки ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ и имеет в точке ${\displaystyle z_{0}}$ существенную особенность . Тогда ${\displaystyle f}$ принимает в ${\displaystyle U(z_{0})}$ все значения, кроме, быть может, одного, бесконечное число раз.

Она является в некотором смысле обобщением теоремы Сохоцкого . При доказательстве используется неравенство Шоттки .

Примечания

• Фактически, малая теорема Пикара является следствием большой, так как, по теореме Лиувилля , целая функция либо является многочленом, либо имеет на бесконечности существенную особенность.
• Большая теорема Пикара допускает обобщение на случай мероморфных функций . Пусть ${\displaystyle M}$ — риманова поверхность , ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\mathbb {C} }$ — сфера Римана , ${\displaystyle f\colon M\setminus {w}\to \mathbf {P} ^{1}\mathbb {C} }$ — голоморфная функция, имеющая в точке ${\displaystyle w}$ существенную особенность. Тогда в любой окрестности ${\displaystyle U(w)\subset M}$ точки ${\displaystyle w}$ функция ${\displaystyle f}$ принимает почти все значения на ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\mathbb {C} }$ , за исключением не более чем двух.

Например, мероморфная функция

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1-\exp {1/z}}}}$

имеет существенную особенность в точке ${\displaystyle z=0}$ и достигает ${\displaystyle \infty }$ в любой окрестности ${\displaystyle U(0)}$ , но нигде не равна 0 или 1.

Литература

• Половинкин Е. С. Курс лекций по теории функций комплексного переменного, — М. : Физматкнига, 2003. — М. , Издательство МФТИ, 2003. — 203 с — ISBN 5-89155-115-9
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, — СПб. : Лань, 2004. — 336 с — ISBN 5-8114-0568-5 ( ISBN 5-8114-0567-7 )
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е. — М. , 1977.