Тождество Брахмагупты — Фибоначчи , называемое также тождеством Брахмагупты или тождеством Диофанта — алгебраическое тождество, показывающее, как произведение двух сумм квадратов можно представить в виде суммы квадратов (причём двумя способами):

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}&&(1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}.&&(2)\end{aligned}}}$

В терминах общей алгебры , это тождество означает, что множество всех сумм двух квадратов замкнуто относительно умножения .

Пример: ${\displaystyle (1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^{2}.}$

История

Впервые данное тождество было опубликовано в III веке н. э. Диофантом Александрийским в трактате «Арифметика» (книга III, теорема 19). Индийский математик и астроном Брахмагупта в VI веке, вероятно, независимо открыл и несколько обобщил тождество, добавив произвольный параметр ${\displaystyle n}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&(3)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2}.&&(4)\end{aligned}}}$

Брахмагупта описал тождество в трактате («Усовершенствованное учение Брахмы», 628 год) и использовал для решения уравнения Пелля ( )

В Европе тождество впервые появилось в «Книге квадратов» ( Liber quadratorum ) Фибоначчи (1225 год).

Комплексное представление

Пусть ${\displaystyle a+bi,c+di}$ — комплексные числа . Тогда тождество Брахмагупты — Фибоначчи равносильно мультипликативному свойству комплексного модуля :

${\displaystyle |a+bi|\cdot |c+di|=|(a+bi)(c+di)|.}$

В самом деле, возведя обе части в квадрат, получаем:

${\displaystyle |a+bi|^{2}\cdot |c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},}$

или согласно определению модуля:

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.}$

Применения

Решение уравнения Пелля

Как уже говорилось , Брахмагупта применял своё тождество (3), (4) при решении уравнения Пелля :

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1,}$

где ${\displaystyle n}$ — натуральное число , не являющееся квадратом. Брахмагупта сначала подбирал начальное решение уравнения, затем записывал тождество в следующем виде :

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ay_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ay_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2})^{2}-A(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}$

Отсюда видно, что если тройки ${\displaystyle x_{1},y_{1},k_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2},y_{2},k_{2}}$ образуют решение уравнения x ² − Ay ² = k , то можно найти ещё одну тройку

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2})}$

и т. д., получая бесконечный ряд решений.

Общий метод решения уравнения Пелля, опубликованный в 1150 году Бхаскарой II ( метод «чакравала» ), также опирается на тождество Брахмагупты.

Разложение целого числа на сумму двух квадратов

В сочетании с теоремой Ферма — Эйлера , тождество Брахмагупты — Фибоначчи показывает, что произведение квадрата целого числа на любое количество простых чисел вида ${\displaystyle 4m+1}$ представимо в виде суммы квадратов.

Вариации и обобщения

Изначально тождество применялось к целым числам , однако оно справедливо в любом коммутативном кольце или в поле , например, в кольце многочленов или в поле комплексных чисел .

Тождество Брахмагупты — Фибоначчи представляет собой частный случай тождества четырёх квадратов Эйлера или . Тождество четырёх квадратов применимо также к кватернионам , а аналогичное тождество восьми квадратов — к октонионам .

Примечания

Литература

• История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. — М. : Наука, 1970. — Т. I.
• (2000), (2nd ed.), Princeton University Press , p. 306, ISBN 978-0-691-00659-8
• (2002), (2nd ed.), Springer , pp. 72—76, ISBN 978-0-387-95336-6

Ссылки

• PlanetMath (англ.)
• on MathWorld (англ.)
• (англ.)