Нормальная форма игры
- 1 year ago
- 0
- 0
Нормальная форма Чибрарио — нормальная форма дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной, в окрестности простейшей особой точки. Название предложено В. И. Арнольдом в честь итальянского математика Марии Чибрарио , установившей эту нормальную форму для одного класса уравнений .
Пусть дифференциальное уравнение имеет вид
где
Функция предполагается вещественной, гладкой класса (или аналитической ) по совокупности всех трёх переменных. Особые точки такого уравнения — это точки трёхмерного пространства с координатами , лежащие на поверхности, задаваемой уравнением , в которых производная обращается в нуль, т. е. проектирование поверхности на плоскость переменных вдоль направления оси нерегулярно. В общем случае множество особых точек образует на поверхности кривую, называемую криминантой . Проекция криминанты на плоскость называется дискриминантной кривой , её точки тоже часто называют особыми точками уравнения, хотя при этом возможна неточность: при проектировании различным точками поверхности может соответствовать одна и та же точка плоскости переменных .
Дифференциальное соотношение задает в пространстве поле контактных плоскостей . Пересечение контактных плоскостей с плоскостями, касательными к поверхности , задает на последней поле направлений (определенное во всех точках, где контактные и касательные плоскости не совпадают друг с другом). Интегральные кривые построенного таким образом поля являются 1-графиками решений исходного уравнения, а их проекции на плоскость — графиками решений
Описанная конструкция исследования уравнений, не разрешённых относительно производной, восходит к третьему мемуару А. Пуанкаре «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» (1885); в современной математической литературе она часто называется поднятием уравнения на поверхность .
Простейшими особыми точками уравнения являются так называемые регулярные особые точки, в которых проектирование имеет особенность, называемую , и контактная плоскость не касается поверхности Это равносильно выполнению в данной точке условий:
Теорема . В окрестности регулярной особой точки уравнение с гладкой (или аналитической) функцией гладко (соответственно, аналитически) эквивалентно уравнению называемому нормальной формой Чибрарио . |
В 1932 году Чибрарио получила эту нормальную форму, исследуя уравнения с частными производными второго порядка смешанного типа .
Нормальная форма Чибрарио является характеристическим уравнением для уравнения Трикоми
,
относящегося к эллиптическому типу в полуплоскости и к гиперболическому — в полуплоскости .
Уравнение легко интегрируется: графики его решений образуют семейство полукубических парабол
заполняющих полуплоскость , точки возврата которых лежат на дискриминантной кривой — оси .
Аналогичным образом выглядят асимптотические линии двумерной поверхности в евклидовом пространстве в окрестности типичной . Нормальная форма Чибрарио соответствует также простейшим особенностям поля медленного движения в быстро-медленных динамических системах .