Interested Article - Нормальная форма Чибрарио

Нормальная форма Чибрарио нормальная форма дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной, в окрестности простейшей особой точки. Название предложено В. И. Арнольдом в честь итальянского математика Марии Чибрарио , установившей эту нормальную форму для одного класса уравнений .

Связанные определения

Особые точки

Пусть дифференциальное уравнение имеет вид

где

Функция предполагается вещественной, гладкой класса (или аналитической ) по совокупности всех трёх переменных. Особые точки такого уравнения — это точки трёхмерного пространства с координатами , лежащие на поверхности, задаваемой уравнением , в которых производная обращается в нуль, т. е. проектирование поверхности на плоскость переменных вдоль направления оси нерегулярно. В общем случае множество особых точек образует на поверхности кривую, называемую криминантой . Проекция криминанты на плоскость называется дискриминантной кривой , её точки тоже часто называют особыми точками уравнения, хотя при этом возможна неточность: при проектировании различным точками поверхности может соответствовать одна и та же точка плоскости переменных .

Поднятие уравнения

Дифференциальное соотношение задает в пространстве поле контактных плоскостей . Пересечение контактных плоскостей с плоскостями, касательными к поверхности , задает на последней поле направлений (определенное во всех точках, где контактные и касательные плоскости не совпадают друг с другом). Интегральные кривые построенного таким образом поля являются 1-графиками решений исходного уравнения, а их проекции на плоскость — графиками решений

Поднятие уравнения на поверхность

Описанная конструкция исследования уравнений, не разрешённых относительно производной, восходит к третьему мемуару А. Пуанкаре «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» (1885); в современной математической литературе она часто называется поднятием уравнения на поверхность .

Теорема о нормальной форме

Простейшими особыми точками уравнения являются так называемые регулярные особые точки, в которых проектирование имеет особенность, называемую , и контактная плоскость не касается поверхности Это равносильно выполнению в данной точке условий:

Теорема . В окрестности регулярной особой точки уравнение с гладкой (или аналитической) функцией гладко (соответственно, аналитически) эквивалентно уравнению

называемому нормальной формой Чибрарио .

В 1932 году Чибрарио получила эту нормальную форму, исследуя уравнения с частными производными второго порядка смешанного типа .

Примеры

Нормальная форма Чибрарио является характеристическим уравнением для уравнения Трикоми

,

относящегося к эллиптическому типу в полуплоскости и к гиперболическому — в полуплоскости .

Семейство решений в нормальной форме Чибрарио

Уравнение легко интегрируется: графики его решений образуют семейство полукубических парабол

заполняющих полуплоскость , точки возврата которых лежат на дискриминантной кривой — оси .

Аналогичным образом выглядят асимптотические линии двумерной поверхности в евклидовом пространстве в окрестности типичной . Нормальная форма Чибрарио соответствует также простейшим особенностям поля медленного движения в быстро-медленных динамических системах .

Литература

  • Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
  • Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
  • Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1985, том 1.
  • Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1986, том 5.
  • Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivative parzialy di secondo ordine di tipo misto, — Rend. Lombardo 65 (1932), pp. 889–906.

Примечания

  1. Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1985, том 1. — гл. 1, пар. 7.
  2. Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivative parzialy di secondo ordine di tipo misto, — Rend. Lombardo 65 (1932), pp. 889—906.
  3. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — гл. 1, пар. 4.
  4. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — гл. 1, пар. 4.
  5. Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1986, том 5
Источник —

Same as Нормальная форма Чибрарио