Категория абелевых групп (обозначается Ab ) — категория , объекты которой — абелевы группы , а морфизмы — гомоморфизмы групп . Является прототипом абелевой категории . , в действительности, любая малая абелева категория может быть вложена в Ab .

Ab является полной подкатегорией Grp ( категории всех групп ). Главное различие между Ab и Grp состоит в том, что сумма двух гомоморфизмов абелевых групп — снова гомоморфизм:

( f + g )( x + y ) = f ( x + y ) + g ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + g ( x ) + g ( y )

= f ( x ) + g ( x ) + f ( y ) + g ( y ) = ( f + g )( x ) + ( f + g )( y )

Третье равенство требует коммутативности сложения. Сложение морфизмов делает Ab предаддитивной категорией , и поскольку конечная прямая сумма абелевых групп является , следует, что Ab — аддитивная категория .

В Ab понятие ядра в категорном смысле совпадает с понятием ядра в алгебраическом смысле , то же самое верно для коядра . (Ключевое различие между Ab и Grp здесь состоит в том, что в Grp f ( A ) может не быть нормальной подгруппой , поэтому факторгруппа B / f ( A ) не всегда может быть определена.) Имея конкретные описания ядра и коядра, легко проверить, что Ab — в действительности абелева категория .

Объект Ab является инъективным тогда и только тогда, когда группа делимая ; он проективен тогда и только тогда, когда группа свободная.

По двум абелевым группам A и B можно определить их тензорное произведение A ⊗ B ; оно вновь является абелевой группой, что делает Ab моноидальной категорией .

Ab не является декартово замкнутой , потому что в ней не всегда определены экспоненциалы .

Примечания

Литература

• Маклейн С. Глава 7. Моноиды // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова . — М. : Физматлит, 2004. — С. 188—221. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4 .

• Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory (англ.) / Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter. — Cambridge: Cambridge University Press , 2004. — Vol. 97. — (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications). — ISBN 0-521-83414-7 .