Теорема об универсальных коэффициентах в алгебраической топологии устанавливает связь между целочисленными гомологиями топологического пространства X и его гомологиями с коэффициентами в произвольной абелевой группе A . Она утверждает, что группы целочисленных гомологий ${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )}$ полностью определяют группы ${\displaystyle H_{i}(X,A)}$ , причём гомологии могут быть как симплициальными так и сингулярными — это общий результат гомологической алгебры о цепных комплексах свободных абелевых групп .

Утверждение теоремы

Рассмотрим тензорное произведение ${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )\otimes A}$ . Теорема утверждает, что существует инъективный гомоморфизм этой группы в ${\displaystyle H_{i}(X,A)}$ с коядром ${\displaystyle {\mbox{Tor}}(H_{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)}$ .

Другими словами, существует естественная короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\rightarrow H_{i}(X,\mathbb {Z} )\otimes A\rightarrow H_{i}(X,A)\rightarrow {\mbox{Tor}}(H_{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\rightarrow 0.}$

Более того, эта последовательность расщепляется, но расщепление не является естественным.

Теорема об универсальных коэффициентах для когомологий

Существует аналогичная теорема для когомологий , вовлекающая функтор Ext , которая утверждает, что существует короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\rightarrow {\mbox{Ext}}(H_{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\rightarrow H^{i}(X,A)\rightarrow {\mbox{Hom}}(H_{i}(X,\mathbb {Z} ),A)\rightarrow 0.}$

Как и в случае гомологий последовательность расщепляется, хотя и не естественным образом.

Литература

• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М. : Мир, 1976
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М. : Наука, 1989