Теорема Белого — фундаментальное утверждение в алгебраической геометрии : любая неособая алгебраическая кривая ${\displaystyle C}$ , определённая алгебраическими коэффициентами, представляет , которая является сферы Римана с ветвлением лишь в трёх точках. Установлена в 1979 году ; результат оказался неожиданным, и в связи с ним Гротендиком было создано новое направление в алгебраической геометрии — , описывающая с помощью комбинаторики неособые алгебраические кривые над алгебраическими числами.

Из теоремы следует, что рассматриваемая риманова поверхность может пониматься как ${\displaystyle H/\Gamma }$ , где ${\displaystyle H}$ — верхняя полуплоскость , а ${\displaystyle \Gamma }$ — подгруппа с конечным индексом в модулярной группе , компактифицированная путём добавления каспов . Поскольку модулярная группа имеет , отсюда не вытекает, что любая такая кривая является модулярной кривой .

Функция Белого — голоморфное отображение из компактной римановой поверхности ${\displaystyle S}$ в комплексную проективную прямую ${\displaystyle P^{1}\mathbb {C} }$ , разветвляющееся лишь над тремя точками, которые после преобразования Мёбиуса могут считаться точками ${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$ . Функции Белого можно описать комбинаторно с помощью . При этом функции Белого и детские рисунки встречаются в работах Феликса Клейна 1879 года , где применены для изучения 11-кратного накрытия комплексной проективной прямой с PSL(2,11) .

Теорема Белого является теоремой существования функций Белого и активно используется в исследованиях по обратной задаче Галуа .

Примечания

Литература

• Jean-Pierre Serre . Lectures on the Mordell-Weil theorem / Translated from the French by Martin Brown from notes by Michel Waldschmidt. — Third. — Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1997. — (Aspects of Mathematics). — ISBN 3-528-28968-6 . — doi : .
• Felix Klein. Über die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen // Mathematische Annalen. — 1879. — Т. 15 , вып. 3—4 . — С. 533–555 . — doi : .
• Белый Г. В. // Известия АН СССР , серия математическая. — 1979. — Т. 43 , вып. 2 . — С. 267–276 .
• Белый Г. В. // Математический сборник . — 2002. — Т. 193 , № 3 . — С. 21—24 .
• Lieven le Bruyn. . — 2008.

• Ernesto Girondo, Gabino González-Diez. Introduction to compact Riemann surfaces and dessins d'enfants. — Cambridge: Cambridge University Press , 2012. — Т. 79. — (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-0-521-74022-7 .
• Wushi Goldring. Unifying themes suggested by Belyi's Theorem // Number Theory, Analysis and Geometry. In Memory of Serge Lang / Dorian Goldfeld, Jay Jorgenson, Peter Jones, Dinakar Ramakrishnan, Kenneth A. Ribet, John Tate. — Springer, 2012. — С. 181–214. — ISBN 978-1-4614-1259-5 .