Репью́ниты ( англ. repunit , от repeated unit — повторённая единица) — натуральные числа ${\displaystyle R(b,n)}$ , запись которых в системе счисления с основанием ${\displaystyle b>1}$ состоит из одних единиц. В десятичной системе счисления репьюниты обозначаются ${\displaystyle R_{n}}$ : ${\displaystyle R_{1}=1}$ , ${\displaystyle R_{2}=11}$ , ${\displaystyle R_{3}=111}$ и т. д., и общий вид для них:

${\displaystyle R_{n}={\frac {10^{n}-1}{9}},\quad n=1,2,3,\ldots }$

Репьюниты являются частным случаем репдигитов .

Факторизация десятичных репьюнитов

(Простые числа в факторизациях, окрашенные в коричневый цвет , означают, что это новые простые числа в факторизациях R _n , которые не делят R _k для всех k < n )

Свойства

• На 2022 год известно только 11 простых репьюнитов ${\displaystyle R_{n}}$ для n , равных :

2 , 19 , 23 , 317 , 1031, 49 081, 86 453, 109 297, 270 343, 5 794 777, 8 177 207 (последовательность в OEIS )

Очевидно, что индексы простых репьюнитов также являются простыми числами.

• В результате умножения ${\displaystyle R_{i}\cdot R_{j}}$ при ${\displaystyle 9\geq i\geq j}$ получается палиндромическое число вида ${\displaystyle (12\ldots j\ldots 21)}$ из ${\displaystyle i+j-1}$ цифр с цифрой ${\displaystyle j}$ посередине.
• Репьюнит 11 111 111 111 111 111 111 является самопорождённым числом .
• Всякое положительное кратное репьюнита ${\displaystyle R_{n}}$ содержит не менее n ненулевых цифр.
• Репьюнит как сумма последовательных квадратов. Число можно представить в виде суммы квадратов нескольких последовательных натуральных чисел: ${\displaystyle 1111=\sum \limits _{n=11}^{16}n^{2}}$ . Очевидно, что единица также удовлетворяет данному условию. Других таких репьюнитов нет вплоть до длины 251 включительно.

В культуре

В честь репьюнитов назван астероид (11111) Репьюнит , порядковый номер которого — ${\displaystyle R_{5}}$ .

Примечания

Литература

• Yates S. The mystique of repunits — Math. Mag., 1978, 51, 22—28.
• Ейтс С. Репьюниты и десятичные периоды — Мир, 1992.
• Кордемский Б. // Квант . — 1997. — № 5 . — С. 28—29 .
• Н. М. Карпушина. Вне формата. Занимательная математика: гимнастика для ума или искусство удивлять?. — М. : АНО Редакция журнала «Наука и жизнь», 2013. — С. 115, 132-149. — 288 с. — ISBN 978-5-904129-07-1 .