Двойственная категория ( дуальная категория ) — категория , построенная из заданной согласно теоретико-категорному принципу двойственности , то есть, для категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ двойственной является категория ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$ с теми же объектами, что и ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ и с множествами морфизмов ${\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {C}}^{op}}(A,B)={\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(B,A)}$ («обращение стрелок»). Композиция морфизмов в ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ в категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$ определяется как композиция ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ . Понятия и утверждения, относящиеся к категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ , заменяются двойственными понятиями и утверждениями в ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$ . Применение двойственности дважды переводит категорию в себя.

Примеры

• Категория булевых алгебр эквивалентна двойственной категории пространств Стоуна и непрерывных функций.
• Категория аффинных схем эквивалентна двойственной категории коммутативных колец .
• Двойственность Понтрягина можно ограничить на эквивалентность категории компактных хаусдорфовых абелевых топологических групп и двойственной категории (дискретных) абелевых групп .
• Согласно теореме Гельфанда — Ноймарка категория локально измеримых пространств (и измеримых функций ) эквивалентна двойственной категории коммутативных алгебр фон Неймана .

Свойства

• ${\displaystyle ({\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}})^{op}\cong {\mathcal {C}}^{op}\times {\mathcal {D}}^{op}}$ (см. категория произведения )
• ${\displaystyle (Funct({\mathcal {C}},{\mathcal {D}}))^{op}\cong Funct({\mathcal {C}}^{op},{\mathcal {D}}^{op})}$ (см. категория функторов )
• ${\displaystyle (F\downarrow G)^{op}\cong (G^{op}\downarrow F^{op})}$ (см. категория запятой )

Примечания

Литература

• Маклейн С. Глава 2. Конструкции в категориях // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова . — М. : Физматлит, 2004. — С. 43—67. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4 .