В теории категорий множества Hom (то есть множества морфизмов между двумя объектами) позволяют определить важные функторы в категорию множеств . Эти функторы называются функторами Hom и имеют многочисленные приложения в теории категорий и других областях математики.

Определение

Пусть C — локально малая категория . Тогда для любых её объектов A , B определены следующие два функтора:

Hom( A ,-) : C → Set	Hom(-, B ) : C → Set
Это ковариантный функтор, задаваемый следующим образом: Hom( A ,-) отображает каждый объект X категории C во множество морфизмов Hom( A , X ) Hom( A ,-) отображает каждый морфизм f : X → Y в функцию Hom( A , f ) : Hom( A , X ) → Hom( A , Y ), задаваемую как ${\displaystyle g\mapsto f\circ g}$ для каждого g в Hom( A , X ).	Это контравариантный функтор, задаваемый следующим образом: Hom(-, B ) отображает каждый объект X категории C во множество морфизмов Hom( X , B ) Hom(-, B ) отображает каждый морфизм h : X → Y в функцию Hom( h , B ) : Hom( Y , B ) → Hom( X , B ), задаваемую как ${\displaystyle g\mapsto g\circ h}$ для каждого g в Hom( Y , B ).

Функтор Hom(-, B ) также называют функтором точек объекта B .

Также можно определить бифунктор Hom(-,-) из C × C в Set , контравариантный по первому аргументу и ковариантный по второму. Или, эквивалентно, функтор

Hom(-,-) : C ^op × C → Set

где C ^op — двойственная категория к C .

Внутренний функтор Hom

В некоторых категориях можно определить функтор, который сходен с функтором Hom, но значения которого лежат в самой категории. Такой функтор называют внутренним функтором Hom и обозначают

${\displaystyle {\text{hom}}(-,-):C^{op}\times C\to C}$

Категории, допускающие внутренний Hom-функтор, называются . Поскольку в замкнутой категории ${\displaystyle A\cong hom(I,A)}$ (здесь I — единица замкнутой категории), это можно переписать как

${\displaystyle {\text{Hom}}(I,{\text{hom}}(-,-))\simeq {\text{Hom}}(-,-)}$

В случае замкнутой моноидальной категории это можно расширить до так называемого каррирования , то есть изоморфизма

${\displaystyle {\text{Hom}}(X,Y\Rightarrow Z)\simeq {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)}$

где ${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$ — это ${\displaystyle {\text{hom}}(Y,Z)}$ .

Связанные определения

• Функтор вида Hom(-, C) : C ^op → Set является предпучком ; соответственно, Hom(C, -) можно называть копредпучком.
• Функтор F : C → Set , естественно изоморфный Hom(X, -) для некоторого объекта C называется представимым функтором .
• Hom(-, -) : C ^op × C → Set является , а именно, тождественным профунктором ${\displaystyle {\text{id}}_{C}\colon C\nrightarrow C}$ .
• Внутренний функтор Hom сохраняет пределы ; а именно, ${\displaystyle {\text{hom}}(X,-):C\to C}$ переводит пределы в пределы, а ${\displaystyle {\text{hom}}(-,X):C^{\text{op}}\to C}$ — пределы в копределы. В некотором смысле, это можно считать определением предела или копредела.
• Функтор Hom — пример точного слева функтора.

См. также

• Лемма Йонеды
• Категория функторов

Примечания

• С. Маклейн. Категории для работающего математика, — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4 .
• Голдблатт, Р. Топосы. Категорный анализ логики, — М. : Мир, 1983. — 487 с.
• Nathan Jacobson . Basic algebra (неопр.) . — 2nd. — Dover, 2009. — Т. 2. — ISBN 978-0-486-47187-7 .