Изоморфизм категорий — взаимно-однозначное отношение между категориями, сохраняющее структуру объектов и морфизмов: категории ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ изоморфны, если существуют функторы ${\displaystyle F\colon C\to D}$ и ${\displaystyle G\colon D\to C}$ , которые являются обратными друг другу, то есть, ${\displaystyle FG=1_{D}}$ (функтор тождественности на ${\displaystyle D}$ ) и ${\displaystyle GF=1_{C}}$ . Две изоморфные категории разделяют все свойства, которые определены только в терминах теории категорий; для всех практических целей они идентичны и различаются только обозначениями объектов и морфизмов.

Изоморфизм категорий является очень сильным условием, которое редко удовлетворяется; в связи с этим чаще используется понятие эквивалентности категорий , для которого не требуется, чтобы ${\displaystyle FG}$ был равен to ${\displaystyle 1_{D}}$ , а лишь естественно изоморфен ${\displaystyle 1_{D}}$ , и аналогично ${\displaystyle GF}$ был естественно изоморфен ${\displaystyle 1_{C}}$ .

Функтор ${\displaystyle F\colon C\to D}$ создаёт изоморфизм категорий тогда и только тогда, когда он биективен на объектах и на множестве морфизмов ; благодаря этому критерию можно доказывать изоморфность категорий без построения обратного функтора ${\displaystyle G}$ .

Примеры

Для конечной группы ${\displaystyle G}$ , поле ${\displaystyle k}$ и групповой алгебры ${\displaystyle kG}$ категория ${\displaystyle k}$ -линейных представлений группы группы ${\displaystyle G}$ изоморфна категории левых модулей над ${\displaystyle kG}$ . Изоморфизм можно описать следующим образом: если дано представление группы ${\displaystyle \rho \colon G\to \mathbf {GL} (V)}$ , где ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над ${\displaystyle k}$ , ${\displaystyle \mathbf {GL} (V)}$ является группой его ${\displaystyle k}$ -линейных автоморфизмов , а ${\displaystyle \rho }$ является гомоморфизмом групп , ${\displaystyle V}$ переводится в левый ${\displaystyle kG}$ -модуль следующим образом:

${\displaystyle \left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)v=\sum _{g\in G}a_{g}\rho (g)(v)}$

для любого ${\displaystyle v}$ из ${\displaystyle V}$ и любого элемента ${\displaystyle \sum a_{g},g\in kG}$ . Обратно, если задан левый ${\displaystyle kG}$ -модуль ${\displaystyle M}$ , то ${\displaystyle M}$ является ${\displaystyle k}$ -векторным пространством, и умножение на элемент ${\displaystyle g}$ группы ${\displaystyle G}$ приводит к ${\displaystyle k}$ -линейному автоморфизму модуля ${\displaystyle M}$ (поскольку ${\displaystyle g}$ обратим в ${\displaystyle kG}$ ), что описывает групповой гомоморфизм ${\displaystyle G\to \mathbf {GL} (M)}$ .

Любое кольцо может рассматриваться как предаддитивная категория с единственным объектом. Категория функторов всех аддитивных функторов из этой категории в категорию абелевых групп изоморфна категории левых модулей над кольцом.

Автоморфизм категорий возникает в теории булевых алгебр : категория булевых алгебр изоморфна категории булевых колец . Заданная булева алгебра ${\displaystyle B}$ переводится в булево кольцо с помощью симметрической разности в качестве сложения и операции логического умножения ${\displaystyle \land }$ в качестве умножения. И обратно, если дано булево кольцо ${\displaystyle R}$ , то можно определить операцию объединения как ${\displaystyle a\lor b=a+b+ab}$ , а операцию пересечения как умножение. Оба этих определения могут быть расширены до морфизмов для получения функторов и эти функторы взаимно обратны друг другу.

Если ${\displaystyle C}$ является категорией с начальным объектом ${\displaystyle s}$ , то категория объектов «над» ( ${\displaystyle s{\downarrow }C}$ ) изоморфна ${\displaystyle C}$ . Двойственно , если ${\displaystyle t}$ является терминальным объектом в ${\displaystyle C}$ , категория функтора ( ${\displaystyle C{\downarrow }t}$ ) изоморфна ${\displaystyle C}$ .

Примечания

Литература

• Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова . — М. : Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4 .