Теоремы об изоморфизме в алгебре — ряд теорем , связывающих понятия фактора , гомоморфизма и вложенного объекта . Утверждением теорем является изоморфизм некоторой пары групп , колец , модулей , линейных пространств , алгебр Ли или прочих алгебраических структур (в зависимости от области применения). Обычно насчитывают три теоремы об изоморфизме, называемые Первой (также основная теорема о гомоморфизме ), Второй и Третьей. Хотя подобные теоремы достаточно легко следуют из определения фактора и честь их открытия никому особо не приписывается, считается, что наиболее общие формулировки дала Эмми Нётер .

Группы

Первая теорема

Пусть ${\displaystyle \varphi \colon \ G\to H}$ — гомоморфизм групп , тогда:

1. Ядро ${\displaystyle \varphi }$ — нормальная подгруппа в ${\displaystyle G}$ ;
2. Образ ${\displaystyle \varphi }$ — подгруппа в ${\displaystyle H}$ ;
3. Образ ${\displaystyle \varphi }$ изоморфен факторгруппе ${\displaystyle G/\ker \varphi }$ .

В частности, если гомоморфизм ${\displaystyle \varphi }$ сюръективен (то есть является эпиморфизмом ), то группа ${\displaystyle H}$ изоморфна факторгруппе ${\displaystyle G/\ker \varphi }$ .

Вторая теорема

Пусть ${\displaystyle G}$ — группа, ${\displaystyle S}$ — подгруппа в ${\displaystyle G}$ , ${\displaystyle N}$ — нормальная подгруппа в ${\displaystyle G}$ , тогда:

1. Произведение ${\displaystyle SN}$ — подгруппа в ${\displaystyle G}$ ;
2. Пересечение ${\displaystyle S\cap N}$ — нормальная подгруппа в ${\displaystyle S}$ ;
3. Факторгруппы ${\displaystyle (SN)/N}$ и ${\displaystyle S/S\cap N}$ изоморфны.

Третья теорема

Пусть ${\displaystyle G}$ — группа, ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle K}$ — нормальные подгруппы в ${\displaystyle G}$ такие, что ${\displaystyle K\subseteq N}$ , тогда:

1. ${\displaystyle N/K}$ — нормальная подгруппа в ${\displaystyle G/K}$ ;
2. Факторгруппа факторгрупп ( ${\displaystyle G/K}$ ) / ( ${\displaystyle N/K}$ ) изоморфна факторгруппе ${\displaystyle G/N}$ .

Кольца

В данной области понятие нормальной подгруппы заменяется на понятие идеала кольца .

Первая теорема

Пусть ${\displaystyle \varphi \colon \ R\to S}$ гомоморфизм колец , тогда:

1. Ядро ${\displaystyle \varphi }$ — идеал в ${\displaystyle R}$ ;
2. Образ ${\displaystyle \varphi }$ — подкольцо в ${\displaystyle S}$ ;
3. Образ ${\displaystyle \varphi }$ изоморфен факторкольцу ${\displaystyle R/\ker \varphi }$ .

В частности, если гомоморфизм ${\displaystyle \varphi }$ сюръективен (то есть является эпиморфизмом), то кольцо ${\displaystyle S}$ изоморфно факторкольцу ${\displaystyle R/\ker \varphi }$ .

Вторая теорема

Пусть ${\displaystyle R}$ — кольцо, ${\displaystyle S}$ — подкольцо в ${\displaystyle R}$ , ${\displaystyle I}$ — идеал в ${\displaystyle R}$ , тогда:

1. Сумма ${\displaystyle S+I}$ — подкольцо в ${\displaystyle R}$ ;
2. Пересечение ${\displaystyle S\cap I}$ — идеал в ${\displaystyle S}$ ;
3. Факторкольца ${\displaystyle (S+I)/I}$ и ${\displaystyle S/(S\cap I)}$ изоморфны.

Третья теорема

Пусть ${\displaystyle R}$ — кольцо, ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — идеалы в ${\displaystyle R}$ такие, что ${\displaystyle B\subseteq A}$ , тогда:

1. ${\displaystyle A/B}$ — идеал в ${\displaystyle R/B}$ ;
2. Факторкольцо факторколец ${\displaystyle (R/B)/(A/B)}$ изоморфно факторкольцу ${\displaystyle R/A}$ .

Модули, абелевы группы и линейные пространства

Теоремы об изоморфизме абелевых групп и линейных пространств являются частным случаем теорем для модулей , которые и будут сформулированы. Для линейных пространств дополнительную информацию можно найти в статье « ядро линейного отображения ».

Первая теорема

Пусть ${\displaystyle \varphi \colon \ M\to N}$ — гомоморфизм модулей, тогда:

1. Ядро ${\displaystyle \varphi }$ — подмодуль в ${\displaystyle M}$ ;
2. Образ ${\displaystyle \varphi }$ — подмодуль в ${\displaystyle N}$ ;
3. Образ ${\displaystyle \varphi }$ изоморфен фактормодулю ${\displaystyle M/\ker \varphi }$ .

Вторая теорема

Пусть ${\displaystyle M}$ — модуль, ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle T}$ — подмодули в ${\displaystyle M}$ , тогда:

1. Сумма ${\displaystyle S+T}$ — подмодуль в ${\displaystyle M}$ ;
2. Пересечение ${\displaystyle S\cap T}$ — подмодуль в ${\displaystyle M}$ ;
3. Фактормодуль ${\displaystyle (S+T)/T}$ изоморфен фактормодулю ${\displaystyle S/(S\cap T)}$ .

Третья теорема

Пусть ${\displaystyle M}$ — модуль, ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle T}$ — подмодули в ${\displaystyle M}$ такие, что ${\displaystyle T\subseteq S}$ , тогда:

1. ${\displaystyle S/T}$ — подмодуль в ${\displaystyle M/T}$ ;
2. Фактормножество фактормодулей ${\displaystyle (M/T)/(S/T)}$ изоморфно фактормодулю ${\displaystyle M/S}$ .

См. также

• Универсальная алгебра