Interested Article - Векторное пространство

Ве́кторное простра́нство ( лине́йное пространство ) — математическая структура , представляющая собой набор элементов, называемых векторами , для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр . Эти операции подчинены восьми аксиомам . Скаляры могут быть элементами вещественного , комплексного или любого другого поля чисел . Частным случаем подобного пространства является обычное трёхмерное евклидово пространство , векторы которого используются, к примеру, для представления физических сил . При этом вектор как элемент векторного пространства не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы .

Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры . Одна из главных характеристик векторного пространства — его размерность. Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к грубой геометрической интерпретации, число направлений, которые невозможно выразить друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, нормой или скалярным произведением . Подобные пространства естественным образом появляются в математическом анализе , преимущественно в виде бесконечномерных , где в качестве векторов выступают функции . Многие проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Рассмотрение таких вопросов возможно в векторных пространствах с дополнительной структурой, в большинстве случаев — подходящей топологией , что позволяет определить понятия близости и непрерывности . Такие топологические векторные пространства , в частности, банаховы и гильбертовы , допускают более глубокое изучение.

Первые труды, предвосхитившие введение понятия векторного пространства, относятся к XVII веку . Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия , учения о матрицах , системах линейных уравнений , евклидовых векторах .

Определение

Линейное , или векторное , пространство над полем — это упорядоченная четвёрка , где

  • непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами .
  • поле , элементы которого называются скалярами .
  • Определена операция сложения векторов , сопоставляющая каждой паре элементов множества единственный элемент множества , называемый их суммой и обозначаемый .
  • Определена операция умножения векторов на скаляры , сопоставляющая каждому элементу поля и каждому элементу множества единственный элемент множества , обозначаемый или .

Заданные операции должны удовлетворять следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

  1. для любых ( коммутативность сложения );
  2. для любых ( ассоциативность сложения );
  3. существует такой элемент , что для любого ( существование нейтрального элемента относительно сложения ), называемый нулевым вектором , или просто нулём , пространства ;
  4. для любого существует такой элемент , что , называемый вектором, противоположным вектору ;
  5. ( ассоциативность умножения на скаляр );
  6. ( унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля сохраняет вектор ).
  7. ( дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров );
  8. ( дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов ).

Таким образом, операция сложения задаёт на множестве структуру (аддитивной) абелевой группы .

Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами (например, множество пар действительных чисел может быть двумерным векторным пространством над полем действительных чисел либо одномерным — над полем комплексных чисел ).

Простейшие свойства

  1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
  2. Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
  3. для любого .
  4. Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
  5. для любого .
  6. для любых и .
  7. для любого .

Связанные определения и свойства

Подпространство

Алгебраическое определение: Линейное подпространство , или векторное подпространство , ― непустое подмножество линейного пространства такое, что само является линейным пространством по отношению к определённым в действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как . Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

  1. для всякого вектора вектор также принадлежал при любом ;
  2. для всяких векторов вектор также принадлежал .

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

для всяких векторов вектор также принадлежал для любых .

В частности, векторное пространство, состоящее из одного лишь нулевого вектора, является подпространством любого пространства; любое пространство является подпространством самого себя. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными , или нетривиальными .

Свойства подпространств

  • Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;
  • Сумма подпространств определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов :
    .
    • Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство.

Линейные комбинации

Формальное выражение вида

называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами .

В действительности данное определение (и приводимые ниже) приложимо не только к комбинациям векторов, но и к комбинациям любых других объектов, для которых подобные суммы вообще имеют смысл (например, к комбинациям точек аффинного пространства ).

Линейная комбинация называется:

  • нетривиальной , если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
  • барицентрической , если сумма её коэффициентов равна 1 ,
  • выпуклой , если сумма её коэффициентов равна 1 и все коэффициенты неотрицательны,
  • сбалансированной , если сумма её коэффициентов равна 0.

Базис и размерность

Векторы называются линейно зависимыми , если существует их нетривиальная линейная комбинация, значение которой равно нулю; то есть

при некоторых ненулевых коэффициентах (то есть если хотя бы один из не равен нулю).

В противном случае эти векторы называются линейно независимыми .

Данное определение допускает следующее обобщение: бесконечное множество векторов из называется линейно зависимым , если линейно зависимо некоторое конечное его подмножество, и линейно независимым , если любое его конечное подмножество линейно независимо.

Можно показать , что число элементов ( мощность ) максимального линейно независимого множества элементов векторного пространства не зависит от выбора этого множества. Данное число называется рангом , или размерностью , пространства, а само это множество — базисом ( базисом Га́меля , или линейным базисом ). Элементы базиса именуют базисными векторами . Размерность пространства чаще всего обозначается символом .

Таким образом, размерность векторного пространства является либо неотрицательным целым числом (в частности, равным нулю, если пространство состоит из одного лишь нулевого вектора), либо бесконечностью (точнее, мощностью бесконечного множества). В первом случае векторное пространство называется конечномерным , а во втором — бесконечномерным (например, бесконечномерным является пространство непрерывных функций ). Традиционно изучение конечномерных векторных пространств и их отображений относится к линейной алгебре , а изучение бесконечномерных векторных пространств — к функциональному анализу . Во втором случае существенную роль играет вопрос о разложимости данного элемента по заданной бесконечной системе функций, то есть о сходимости соответствующих бесконечных сумм, для чего бесконечномерное векторное пространство рассматривается вместе с дополнительной структурой, позволяющей определять сходимость, например, с метрикой или топологией .

Свойства базиса:

  • Любые линейно независимых элементов -мерного пространства образуют базис этого пространства.
  • Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
    .

Линейная оболочка

Линейная оболочка подмножества линейного пространства — пересечение всех подпространств , содержащих .

Линейная оболочка является подпространством .

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным . Говорят также, что линейная оболочка — пространство, натянутое на множество .

Линейная оболочка состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из . В частности, если — конечное множество, то состоит из всех линейных комбинаций элементов . Таким образом, нулевой вектор всегда принадлежит линейной оболочке.

Если — линейно независимое множество, то оно является базисом и тем самым определяет его размерность.

Изоморфизм

Два линейных пространства и называются изоморфными , если между векторами и можно установить взаимно однозначное соответствие таким образом, что выполняются условия:

  1. если вектору соответствует вектор , а вектору соответствует вектор , то вектору соответствует вектор
  2. если вектору соответствует вектор , и - элемент поля , то вектору соответствует вектор

Примеры

  • Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
  • Пространство всех функций с конечным носителем образует векторное пространство размерности, равной мощности .
  • Поле действительных чисел может быть рассмотрено как континуально -мерное векторное пространство над полем рациональных чисел .
  • Любое поле является одномерным пространством над собой.
  • Пространства матриц и тензоров образуют линейное пространство.

Дополнительные структуры

См. также

Примечания

  1. Не следует путать понятия «умножение на скаляр» и « скалярное произведение ».
  2. , с. 45.
  3. , с. 8.
  4. , с. 198.
  5. , с. 16.
  6. , с. 14.
  7. Шилов Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. — М., Л., Гостехтеориздат, 1952. — с. 70

Литература

  • Постников М. М. Линейная алгебра (Лекции по геометрии. Семестр II). — 2-е. — М. : Наука , 1986. — 400 с.
  • Стренг Г. Линейная алгебра и её применения = Linear Algebra and Its Applications. — М. : Мир , 1980. — 454 с.
  • Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. 6-е изд. — М. : Физматлит, 2010. — 280 с. — ISBN 978-5-9221-0481-4 .
  • Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-Dimensional Vector Spaces. — М. : Физматгиз , 1963. — 263 с.
  • Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — 5-е. — СПб. : , 2007. — 416 с.
  • Шафаревич И. Р. , Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — 1-е. — М. : Физматлит , 2009. — 511 с.
  • Шрейер О., Шпернер Г. Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Ольшанский Г. (перевод с немецкого). — М. Л. : ОНТИ , 1934. — 210 с.
Источник —

Same as Векторное пространство