Бесконечномерное пространство — векторное пространство c бесконечно большой размерностью . Изучение бесконечномерных пространств и их отображений является главной задачей функционального анализа . Наиболее простыми бесконечномерными пространствами являются гильбертовы пространства , наиболее близкие по свойствам к конечномерным евклидовым пространствам .

Определение

Линейное векторное пространство называется бесконечномерным, если для любого целого числа ${\displaystyle N>0}$ в нем найдется линейно независимая система, состоящая из ${\displaystyle N}$ векторов .

Базис

Для бесконечномерного пространства существуют различные определения базиса . Так, например, базис Гамеля определяется, как множество векторов в линейном пространстве, таких, что любой вектор пространства может быть представлен в виде некоторой их конечной линейной комбинации единственным образом.

Для топологических векторных пространств можно определить базис Шаудера . Система элементов ${\displaystyle \left\{e_{k}\right\}}$ образует базис Шаудера пространства ${\displaystyle E}$ , если каждый элемент ${\displaystyle x\in E}$ представим единственным образом в виде сходящегося ряда ${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e_{k}}$ . Базис Шаудера существует не всегда.

Примеры

• Линейное пространство непрерывных на данном промежутке функций .
• Гильбертово пространство , образованное бесконечной последовательностью чисел ${\displaystyle x=(\xi _{1},...,\xi _{k},...)}$ со сходящейся суммой квадратов ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}^{2}<\infty }$ .
• Множество всех многочленов (над дан­ным по­лем ) .
• Пространство квадратично-суммируемых последовательностей

Свойства

• Бесконечномерное пространство не изоморфно никакому конечномерному .

См. также

• Конечномерное пространство

Примечания

Литература

• Ефимов Н.В. , Линейная алгебра и многомерная геометрия. — М. : Физматлит, 2004. — 464 с. — ISBN 5-9221-0386-5 .
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М. : Наука, 1961. — 436 с.
• под ред. Крейн С.Г. Функциональный анализ. — М. : Наука, 1964. — 424 с. — 17 500 экз.