Теорема Левицкого , названная именем израильского математика Яакова Левицкого , утверждает, что в правом Нётеровом кольце любой односторонний ниль-идеал является обязательно нильпотентным . Теорема является одним из многих результатов, свидетельствующих о правдивости гипотезы Кёте , и более того, дающих решение на один из вопросов Кёте, как описано в статье Левицкого . Результат был получен в 1939, но опубликован лишь в 1950 году . Относительно простое доказательство дал Утуми в 1963 .

Доказательство

Ниже приведена аргументация Утуми (как изложена в статье Лама )

Лемма

Предположим, что R удовлетворяет на формы ${\displaystyle \{r\in R\mid ar=0\}}$ , где a принадлежит R . Тогда

1. Любой односторонний ниль-идеал содержится в нижнем нильрадикале ${\displaystyle \mathrm {Nil} _{*}(R)}$ ;
2. Любой ненулевой правый нильидеал содержит ненулевой нильпотентный правый идеал.
3. Любой ненулевой левый нильидеал содержит ненулевой нильпотентный левый идеал.

Теорема Левицкого

Пусть R будет правым нётеровым кольцом. Тогда любой односторонний нильидеал R нильпотентен. В этом случае верхний и нижний нильрадикалы равны и кроме того, этот идеал является наибольшим нильпотентным идеалом среди нильпотентных правых идеалов и среди нильпотентных левых идеалов.

Доказательство : Вследствие леммы выше достаточно показать, что нижний нильрадикал R нильпотентен. Поскольку R является правым нётеровым кольцом, максимальный нильпотентный идеал N существует. Из максимальности N следует, что факторкольцо R / N не имеет ненулевых нильпотентных идеалов, так что R / N является полупростым кольцом . Как результат, N содержит нижний нильрадикал кольца R . Поскольку нижний нильрадикал содержит все нильпотентные идеалы, он содержит и N , а тогда N равен нижнему нильрадикалу.

См. также

• Нильпотентный идеал
• Гипотеза Кёте
• Радикал Джекобсона

Примечания

Литература