Interested Article - Радиан

Некоторые важные углы, измеренные в радианах. Все многоугольники, изображённые на диаграммах, — правильные

Радиа́н (русское обозначение: рад , международное: rad ; от лат. radius — луч, радиус) — угол, соответствующий дуге , длина которой равна её радиусу . Единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) , а также в системах единиц СГС и МКГСС .

Радианная мера — угловая мера , в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. То есть, радианная мера любого угла — это отношение этого угла к радиану . Из определения следует, что величина полного угла равна 2 π радиан (см. рис. справа).

Определить радианную меру можно и так: радианная мера угла — отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной угла . В геометрии для определения радианной меры угла используют единичную окружность с центром в вершине угла; тогда радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами угла .

Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина дуги окружности радиуса R и угловой величины α , измеренной в радианах, равна α ∙ R .

Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности ( м ) к длине её радиуса ( м ), угол в радианном измерении — величина безразмерная .

Радиан в Международной системе единиц (СИ)

В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом . В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — рад , международное — rad .

Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является число один . Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду .

Кратные и дольные единицы

Десятичные кратные и дольные единицы радиана образуются с помощью стандартных приставок СИ , однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется набег угловой фазы . Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — рад .

Кратные Дольные
величина название обозначение величина название обозначение
10 1 рад декарадиан дарад darad 10 −1 рад децирадиан драд drad
10 2 рад гекторадиан град hrad 10 −2 рад сантирадиан срад crad
10 3 рад килорадиан крад krad 10 −3 рад миллирадиан мрад mrad
10 6 рад мегарадиан Мрад Mrad 10 −6 рад микрорадиан мкрад µrad
10 9 рад гигарадиан Град Grad 10 −9 рад нанорадиан нрад nrad
10 12 рад терарадиан Трад Trad 10 −12 рад пикорадиан прад prad
10 15 рад петарадиан Прад Prad 10 −15 рад фемторадиан фрад frad
10 18 рад эксарадиан Эрад Erad 10 −18 рад атторадиан арад arad
10 21 рад зеттарадиан Зрад Zrad 10 −21 рад зепторадиан зрад zrad
10 24 рад йоттарадиан Ирад Yrad 10 −24 рад иокторадиан ирад yrad
10 27 рад роннарадиан Rrad 10 −27 рад ронторадиан rrad
10 30 рад кветтарадиан Qrad 10 −30 рад квекторадиан qrad
рекомендовано к применению применять не рекомендуется не применяются или редко применяются на практике

Связь радиана с другими единицами

Угол в 1 радиан.

Пропорциональное соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой:

Очевидно, развернутый угол равен или радианам. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из градусов, минут и секунд в радианы и наоборот.

a [°] = α [рад] × (360° / ( )) или α [рад] × (180° / π ),
α [рад] = a [°] : (180° / π ) = a [°] × ( π / 180°),

где α [рад] — угол в радианах, a [°] — угол в градусах.

1 рад (или ) = (мнемоническое правило запоминания в градусах-минутах-секундах: "Число радиана и порядок шутя пишу наизусть", где число букв в каждом слове равно соответствующей цифре в записи значения радиана, до десятой доли угловой секунды)

(или 1 рад в минутах) =

(или 1 рад в секундах) =

Номограмма для перевода радианы/градусы.

В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100 градов и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что
(или 1 рад в сотых долях «сантиграда») =
Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер пока не получила широкого распространения.

Чтобы легче запомнить, как переводят радианы в градусы и обратно, заметим:
Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), мы из отвлеченного числа ( ) делаем именованное ( ) и поэтому должны множить на или ;
Переводя градусы в радианы, мы, наоборот, уничтожаем наименование: получаем отвлечённое число; значит, здесь надо делить на или либо же умножать на перевёрнутую дробь

Пример 1. Перевести в радианы

Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса,
и однократного деления на (как правило, этот способ более точен)

Пример 2. Перевести в градусы 1 радиан.

Итого


Таблица градусов, радиан и град

Таблица углов
Угол , в долях
от полного
Градусы Радианы Грады Синус Косинус Тангенс
не определён
не определён

Радианная мера в математическом анализе

При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад ( rad ) часто опускается.

При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях. При углах менее , приближение можно считать верным до третьего знака после запятой. Если угол меньше , — то до шестого знака после запятой :

История

Первое использование радиана вместо углового градуса обычно приписывают Роджеру Котсу (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной . Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Аль-Каши использовал единицу измерения, названную им « часть диаметра », которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы .

Термин « радиан » впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных билетах, составленных Джеймсом Томсоном из Университета Квинса в Белфасте . Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас Мьюр из Сент-Эндрюсского университета в 1869 году колебался в выборе между терминами « рад », « радиал » и « радиан ». В 1874 году Мьюр, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать термин «радиан» .

См. также

Примечания

  1. Радиан // . — М. : Советская энциклопедия , 1984. — Т. 4. 21 января 2022 года.
  2. Деньгуб В. М. , Смирнов В. Г. Единицы величин. Словарь-справочник. — М. : Издательство стандартов, 1990. — С. 98. — 240 с. — ISBN 5-7050-0118-5 .
  3. .
  4. .
  5. David E. Joyce. (англ.) . Dave's Short Trig Course . Clark University. Дата обращения: 8 сентября 2015. 7 сентября 2015 года.
  6. (англ.) . Международное бюро мер и весов . Дата обращения: 19 декабря 2014. 28 июля 2012 года.
  7. Производная единица измерения называется когерентной , если она выражается в виде произведения степеней основных единиц измерения с коэффициентом пропорциональности, равным единице .
  8. Дата обращения: 18 сентября 2012. Архивировано из 10 ноября 2012 года.
  9. (англ.) . SI Brochure: The International System of Units (SI) . Международное бюро мер и весов (2006). Дата обращения: 19 декабря 2014. 7 октября 2014 года.
  10. Лишние цифры [после четвёртого знака после запятой] в выражениях минут и секунд зачастую отбрасываются ввиду того, что следующая цифра в выражении градусов неизвестна, и, следовательно, писать цифры дальше четвёртой [обозначены нижним индексом] — напрасный труд.
  11. , p. 74, 4.3.46.
  12. (точность нарушается в четвертом знаке после запятой)
    (точность не выдерживается в седьмом знаке после запятой)
    Именно поэтому промежутки шкал(ы) на счётной линейке имеют пределы и ; ниже этого значения (до 0) разграфки нет, так как углы (в радианах) совпадают со значениями синусов/тангенсов в пределах точности линейки ( Панов Д. Ю. Счётная линейка. — 25-е изд. — М. : изд-во Наука (Гл. ред. физ.-мат. литературы), 1982. — 176 с. )
  13. O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. . The MacTutor History of Mathematics (февраль 2005). Дата обращения: 3 февраля 2014. 24 сентября 2012 года.
  14. Luckey, Paul. Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi (нем.) / Siggel, A.. — Berlin: Akademie Verlag , 1953. — S. 40.
  15. Florian Cajori . History of Mathematical Notations (неопр.) . — 1929. — Т. 2. — С. 147—148. — ISBN 0-486-67766-4 .
  16. Muir, Thos. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83 , no. 2110 . — P. 156 . — doi : . — Bibcode : . Thomson, James. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83 , no. 2112 . — P. 217 . — doi : . — Bibcode : . Muir, Thos. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83 , no. 2120 . — P. 459—460 . — doi : . — Bibcode : .
  17. Miller, Jeff (23 ноября 2009). Дата обращения: 30 сентября 2011. 18 января 2021 года.

Литература

  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — Наука, 1965. — С. 340—343. — 424 с.
  • Гельфанд И. М. , Львовский С. М., Тоом А. Л. . — М. : МЦНМО, 2002. — С. 7—8. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X .
  • Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (англ.) . — New York: Dover Publications , 1972. — ISBN 0-486-61272-4 .
Источник —

Same as Радиан