Фотонный ящик Эйнштейна — гипотетическое устройство, якобы способное, вопреки соотношению неопределенностей между энергией и временем, измерить энергию фотона с любой заданной точностью в любой момент времени, также заданный с любой точностью. Идея этого устройства была выдвинута А. Эйнштейном во время его дискуссии с Н. Бором на Сольвейской конференции в 1930 г. Н. Бор объяснил этот парадокс и подчеркнул, что необходимо различать собственно измерительные приборы, служащие для определения системы отсчета и теми частями прибора, которые являются объектами исследования и подвержены квантовым эффектам.

Формулировка парадокса

Фотонный ящик Эйнштейна состоит из ящика с отверстием в стенке, которое можно открывать и закрывать при помощи часового механизма изнутри ящика. Пусть ящик заполнен излучением, а часовой механизм запрограммирован открыть отверстие в заданный момент на очень короткое время. Таким образом, можно добиться того, что в момент времени, заданный с любой точностью, через отверстие пройдет один фотон. Путем определения разности масс ${\displaystyle \Delta m}$ ящика до и после этого момента времени при помощи взвешивания, якобы можно, вопреки соотношению неопределенностей между энергией и временем, измерить энергию фотона ${\displaystyle \Delta E}$ с любой желаемой точностью согласно формуле Эйнштейна зависимости между массой и энергией:

${\displaystyle \Delta E=\Delta mc^{2}}$ (1)

Объяснение парадокса

Предположим, что фотонный ящик для взвешивания подвешен на пружине, к нему прикреплена стрелка, а снизу к ящику прикреплена подставка с гирями для точной установки стрелки к нулю измерительной шкалы в процессе взвешивания (см. рис). Для взвешивания фотонного ящика необходимо установить стрелку весов, прикрепленную к ящику, в нулевое положение шкалы с некоторой наперед заданной точностью ${\displaystyle \Delta q}$ . Но, согласно соотношению неопределенностей , при этом возникает неопределенность импульса ящика ${\displaystyle \Delta p}$ ( ${\displaystyle \hbar }$ - постоянная Планка ):

${\displaystyle \Delta q\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}$ .

Эта неопределенность должна быть меньше импульса , переданного полем тяготения телу с массой ${\displaystyle \Delta m}$ в течение времени ${\displaystyle T}$ , в течение которого происходит процесс взвешивания ( ${\displaystyle g}$ - ускорение свободного падения ):

${\displaystyle Tg\Delta m>\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2\Delta q}}}$ (2)

В то же время, по общей теории относительности , часы, сместившиеся в поле силы тяжести на величину ${\displaystyle \Delta q}$ , изменят свой ход таким образом, что их показание в течение промежутка времени ${\displaystyle T}$ изменится на величину ${\displaystyle \Delta T}$ ( ${\displaystyle c}$ - скорость света ):

${\displaystyle {\frac {\Delta T}{T}}={\frac {g\Delta q}{c^{2}}}}$ (3)

Из формул (2) и (3) следует, что вследствие взвешивания показания часов содержат неопределенность ${\displaystyle \Delta T}$ :

${\displaystyle \Delta T\geqslant {\frac {\hbar }{2c^{2}\Delta m}}}$

Из этой формулы и формулы (1) следует, что неопределенность знаний показаний часов и неопределенность знаний энергии фотона связаны согласно соотношению неопределенностей:

${\displaystyle \Delta T\Delta E\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}$

См. также

• Дискуссия Бора с Эйнштейном
• Соотношение неопределенностей
• Эквивалентность массы и энергии
• Гравитационное красное смещение

Примечания

Литература

• Нильс Бор Атомная физика и человеческое познание. - М., ИЛ, 1961. - 150 с.