Вложение Сегре используется в проективной геометрии для того, чтобы рассматривать прямое произведение двух проективных пространств как проективное многообразие . Названо в честь итальянского математика Беньямино Сегре .

Определение

Отображение Сегре определяется как отображение

${\displaystyle \sigma :P^{n}\times P^{m}\to P^{(n+1)(m+1)-1},\ }$

которое отправляет упорядоченную пару точек в точку, однородные координаты которой — попарные произведения однородных координат исходных точек (записанные в лексикографическом порядке ):

${\displaystyle \sigma :([x_{0}:x_{1}:\cdots :x_{n}],[y_{0}:y_{1}:\cdots :y_{m}])\mapsto [x_{0}y_{0}:x_{0}y_{1}:\cdots :x_{i}y_{j}:\cdots :x_{n}y_{m}].\ }$

Образ этого отображения является проективным многообразием, называемым многообразием Сегре .

Описание на языке линейной алгебры

Согласно универсальному свойству тензорного произведения , для векторных пространств U и V (над одним и тем же полем k ) существует естественное отображение из их декартова произведения в тензорное произведение :

${\displaystyle \varphi :U\times V\to U\otimes V.\ }$

Как правило, это отображение не является инъективным , потому что для любых ${\displaystyle u\in U}$ , ${\displaystyle v\in V}$ и ненулевого ${\displaystyle c\in k,}$

${\displaystyle \varphi (u,v)=u\otimes v=cu\otimes c^{-1}v=\varphi (cu,c^{-1}v).\ }$

Отображение ${\displaystyle \varphi }$ индуцирует морфизм проективизаций соответствующих линейных пространств:

${\displaystyle \sigma :P(U)\times P(V)\to P(U\otimes V).\ }$

Этот морфизм не только является инъективным отображением в смысле теории множеств , он также является в смысле алгебраической геометрии (это значит, что образ отображения может быть задан как множество нулей системы полиномиальных уравнений). Это объясняет причины, по которым данное отображение называют вложением Сегре .

Нетрудно посчитать размерности соответствующих пространств: если ${\displaystyle \mathrm {dim} \;U=n+1,\;\mathrm {dim} \;V=m+1,}$ то ${\displaystyle \mathrm {dim} \;(U\otimes V)=mn+m+n+1,}$ а поскольку проективизация уменьшает размерности на единицу, данному случаю соответствует отображение ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\times \mathbb {P} ^{m}\to \mathbb {P} ^{nm+n+m}.}$

Свойства

Если обозначить однородные координаты на образе вложения Сегре как ${\displaystyle z_{ij}}$ и записать их в виде матрицы , то многообразию Сегре будут принадлежать в точности «матрицы» ранга 1, то есть матрицы, у которых все миноры размера ${\displaystyle 2\times 2}$ равны нулю. Таким образом, многообразие Сегре задаётся как множество общих нулей уравнений вида

${\displaystyle z_{i,j}z_{k,l}-z_{i,l}z_{k,j},\ }$ где ${\displaystyle i\neq k,j\neq l.}$

Слои многообразия Сегре (то есть множества вида ${\displaystyle \sigma (\cdot ,p)}$ или ${\displaystyle \sigma (p,\cdot )}$ для фиксированной точки ${\displaystyle p}$ ) являются линейными подпространствами образа.

Примеры

Квадрика

В случае n = m = 1 отображение Сегре — это вложение произведения проективной прямой на себя в трёхмерное проективное пространство. В однородных координатах образ этого отображения — множество решений алгебраического уравнения

${\displaystyle \det \left({\begin{matrix}z_{0}&z_{1}\\z_{2}&z_{3}\end{matrix}}\right)=z_{0}z_{3}-z_{1}z_{2}=0.}$

Таким образом, в комплексном проективном пространстве многообразие Сегре — это обычная квадрика без особенностей. В действительном проективном пространстве это квадрика сигнатуры ${\displaystyle (2,2),}$ в аффинных координатах ей соответствуют однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид . Обе эти квадрики являются примерами линейчатых поверхностей .

Многообразие Веронезе

Образ диагонали ${\displaystyle \Delta \subset P^{n}\times P^{n}}$ под действием отображения Сегре — это многообразие Веронезе степени два:

${\displaystyle \nu _{2}:P^{n}\to P^{n^{2}+2n}.\ }$

Примечания

Литература

• Харрис Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс. — М.: МЦНМО, 2005.
• Hassett, Brendan (2007) Introduction to Algebraic Geometry, page 154, Cambridge University Press — ISBN 978-0-521-87094-8 .