Геометрический род — это базовый p _g алгебраических многообразий и комплексных многообразий .

Определение

Геометрический род может быть определён для комплексных проективных многообразий и, более общо, для комплексных многообразий , как число Ходжа h ^{n ,0} (равное h ^{0, n} согласно двойственности Серра ), то есть, как размерность плюс единица.

Другими словами, для многообразия V n это значение равно числу линейно независимых голоморфных n - форм на многообразии V . Это определение как размерность пространства

${\displaystyle H^{0}(V,\Omega ^{n})}$

тогда переносится на любое базовое поле , если Ω брать как пучок кэлеровых дифференциалов , а степень равна внешнему произведению , .

Геометрический род является первым инвариантом ${\displaystyle p_{g}=P_{1}}$ последовательности инвариантов ${\displaystyle P_{n}}$ , носящих название (или кратный род).

Случай кривых

В случае комплексных многообразий несингулярные кривые являются римановыми поверхностями . Алгебраическое определение рода согласуется с топологическим понятием рода . На несингулярной кривой каноническое линейное расслоение имеет степень ${\displaystyle 2g-2}$ .

Понятие рода присутствует заметно в утверждении теоремы Римана — Роха (см. также теорему Римана — Роха для поверхностей ) и . По теореме Римана — Роха неприводимая плоская кривая степени d имеет геометрический род

${\displaystyle g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,}$

где s — число особых точек, нужным образом подсчитанных.

Если C является неприводимой (и гладкой) поверхностью в , определяемой полиномиальным уравнением степени d , то её нормальное линейное расслоение является скручивающим пучком Серра ${\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}$ , так что по каноническое линейное расслоение поверхности C задаётся равенством ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{C}=[{\mathcal {K}}_{\mathbb {P} ^{2}}+{\mathcal {O}}(d)]_{{\mid }C}={\mathcal {O}}(d-3)_{{\mid }C}}$ .

Род сингулярных многообразий

Определение геометрического рода переносится классическим образом на сингулярные кривые C путём констатации, что ${\displaystyle p_{g}(C)}$ является геометрическим родом нормализации C ′ . То есть, поскольку отображение ${\displaystyle C^{\prime }\rightarrow C}$ является бирациональным , определение расширяется бирациональным инвариантом.

См. также

• Инварианты поверхностей

Примечания

Литература

• Griffiths P. , Harris J. Principles of Algebraic Geometry. — Wiley Interscience, 1994. — С. 494. — (Wiley Classics Library). — ISBN 0-471-05059-8 .
• Данилов В.И., Шокуров В.В. . — 1998. — Т. 23. — (Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.).