Лемма Нётер о нормализации — результат коммутативной алгебры играющий важную роль в основаниях алгебраической геометрии . Доказанa Эмми Нётер в 1926 году.

Эта лемма используется в доказательстве теоремы Гильберта о нулях . Также она является важным инструментом изучения размерности Крулля .

Формулировка

Для любого поля k и любой конечно порожденной коммутативной k -алгебры A существует неотрицательное целое число d и алгебраически независимые элементы y ₁ , y ₂ , ..., y _d в A такие, что A конечно порожденный модуль над кольцом многочленов S = k [ y ₁ , y ₂ , ..., y _d ].

Замечания

• Целое число d определяется однозначно; это размерность Крулля кольца A.
  • В случае если A является областью целостности , то d также является степенью трансцендентности поля частных A над k .

Геометрическая интерпретация

За S можно взять координатное кольцо d -мерного аффинного пространства ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{d}}$ , а за A — координатное кольцо некоторого другого d -мерного аффинного многообразия X. Тогда отображение включения ${\displaystyle S\to A}$ индуцирует сюръективный конечный морфизм аффинных многообразий ${\displaystyle X\to \mathbb {A} _{k}^{d}}$ . Вывод состоит в том, что любое аффинное многообразие является разветвленным накрытием аффинного пространства.

Если поле k бесконечно, то такое разветвленное накрытие можно построить, взяв проекцию общего положения из аффинного пространства, содержащего X, на d -мерное подпространство.

Литература

• Noether, Emmy (1926), , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen : 28—35, Архивировано из 8 марта 2013 от 8 марта 2013 на Wayback Machine
• Мамфорд Д. Красная книга о многообразиях и схемах. — М.: МЦНМО , 2007.