Ограничение цены на российскую нефть (2022)
- 1 year ago
- 0
- 0
Ограничение скаляров (известное также как «ограничение Вейля») — это функтор , который для любого конечного расширения поля L/k и любого алгебраического многообразия X над L даёт другое многообразие Res L / k X , определённое над k . Ограничение скаляров полезно для сведения вопросов о многообразиях над большими полями к вопросам о более сложных многообразиях над меньшими полями.
Пусть L/k будет конечным расширением поля, а X — многообразием, определённым над L . Функтор из k - схем op в множества определяется выражением
(В частности, k -рациональные точки многообразия являются L -рациональными точками многообразия X .) Многообразие, которое представляет этот функтор, называется ограничением скаляров и оно единственно с точностью до изоморфизма, если существует.
С точки зрения пучков множеств ограничение скаляров является просто дифференциалом вдоль морфизма Spec L Spec k и сопряжёно справа , так что вышеприведённое определение можно перефразировать в более общем виде. В частности, можно заменить расширения поля на любой морфизм окольцованных топосов , а предположение о X может быть ослаблено, к примеру, до стеков. Это приводит к более слабому контролю над поведением ограничения скаляров.
Для любого конечного расширения поля ограничение скаляров переводит квазипроективное многообразие в квазипроективное многообразие. Размерность получаемого многообразия умножается на степень расширения.
При подходящих условиях (например, плоский, собственный, конечно определённый), любой морфизм даёт функтор ограничения скаляров, который переводит в алгебраические стеки, сохраняя такие свойства, как стек Артина, стек Делиня — Мамфорда и представимость.
1) Пусть L — конечное расширение поля k степени s. Тогда (Spec L ) = Spec( k ) и является s-мерным аффинным пространством над Spec k .
2) Если X является аффинным L -многообразием, определённым выражением
мы можем записать как Spec , где y i,j ( ) новые переменные, а g l,r ( ) является многочленом от получаемый выбором k -базиса расширения L и полагая и .
3) Ограничение скаляров над конечным расширением поля переводит в групповые схемы.
В частности:
4) Тор
где G m означает мультипликативную группу, играет существенную роль в теории Ходжа, поскольку вещественных структур Ходжа эквивалентен категории представлений S . Вещественные точки имеют структуру группы Ли , изоморфную . См. .
5) Ограничение Вейля (коммутативного) группового многообразия снова является (коммутативным) групповым многообразием размерности , если L сепарабельно над k . Александр Момот применил ограничения Вейля коммутативных групповых многообразий с и с целью получить новые результаты в теории трансцендентности, которая основывалась на увеличении алгебраической размерности.
6) Ограничение скаляров на абелевых многообразиях (например, эллиптических кривых ) дают абелевы многообразия, если L сепарабельно над k . Джеймс Миль использовал это для сведения гипотезы Бёрча — Свиннертон-Дайера над абелевыми многообразиями над всеми числовыми полями к той же гипотезе над рациональными числами.
7) В эллиптической криптографии спуск Вейля использует ограничение Вейля для преобразования задачи дискретного логарифмирования на эллиптической кривой над конечным расширением поля L/K в задачу дискретного логарифмирования на над базовым полем K, которую потенциально решить легче ввиду меньшего размера поля K.
Ограничение скаляров аналогично преобразованию Гринберга, но не обобщает его, поскольку кольцо векторов Витта на коммутативной алгебре A в общем случае не является A -алгеброй.