Interested Article - Ограничение Вейля

Ограничение скаляров (известное также как «ограничение Вейля») — это функтор , который для любого конечного расширения поля L/k и любого алгебраического многообразия X над L даёт другое многообразие Res L / k X , определённое над k . Ограничение скаляров полезно для сведения вопросов о многообразиях над большими полями к вопросам о более сложных многообразиях над меньшими полями.

Определение

Пусть L/k будет конечным расширением поля, а X — многообразием, определённым над L . Функтор из k - схем op в множества определяется выражением

(В частности, k -рациональные точки многообразия являются L -рациональными точками многообразия X .) Многообразие, которое представляет этот функтор, называется ограничением скаляров и оно единственно с точностью до изоморфизма, если существует.

С точки зрения пучков множеств ограничение скаляров является просто дифференциалом вдоль морфизма Spec L Spec k и сопряжёно справа , так что вышеприведённое определение можно перефразировать в более общем виде. В частности, можно заменить расширения поля на любой морфизм окольцованных топосов , а предположение о X может быть ослаблено, к примеру, до стеков. Это приводит к более слабому контролю над поведением ограничения скаляров.

Свойства

Для любого конечного расширения поля ограничение скаляров переводит квазипроективное многообразие в квазипроективное многообразие. Размерность получаемого многообразия умножается на степень расширения.

При подходящих условиях (например, плоский, собственный, конечно определённый), любой морфизм даёт функтор ограничения скаляров, который переводит в алгебраические стеки, сохраняя такие свойства, как стек Артина, стек Делиня — Мамфорда и представимость.

Примеры и приложения

1) Пусть L — конечное расширение поля k степени s. Тогда (Spec L ) = Spec( k ) и является s-мерным аффинным пространством над Spec k .

2) Если X является аффинным L -многообразием, определённым выражением

мы можем записать как Spec , где y i,j ( ) новые переменные, а g l,r ( ) является многочленом от получаемый выбором k -базиса расширения L и полагая и .

3) Ограничение скаляров над конечным расширением поля переводит в групповые схемы.

В частности:

4) Тор

,

где G m означает мультипликативную группу, играет существенную роль в теории Ходжа, поскольку вещественных структур Ходжа эквивалентен категории представлений S . Вещественные точки имеют структуру группы Ли , изоморфную . См. .

5) Ограничение Вейля (коммутативного) группового многообразия снова является (коммутативным) групповым многообразием размерности , если L сепарабельно над k . Александр Момот применил ограничения Вейля коммутативных групповых многообразий с и с целью получить новые результаты в теории трансцендентности, которая основывалась на увеличении алгебраической размерности.

6) Ограничение скаляров на абелевых многообразиях (например, эллиптических кривых ) дают абелевы многообразия, если L сепарабельно над k . Джеймс Миль использовал это для сведения гипотезы Бёрча — Свиннертон-Дайера над абелевыми многообразиями над всеми числовыми полями к той же гипотезе над рациональными числами.

7) В эллиптической криптографии спуск Вейля использует ограничение Вейля для преобразования задачи дискретного логарифмирования на эллиптической кривой над конечным расширением поля L/K в задачу дискретного логарифмирования на над базовым полем K, которую потенциально решить легче ввиду меньшего размера поля K.

Построения Вейля по сравнению с преобразованиями Гринберга

Ограничение скаляров аналогично преобразованию Гринберга, но не обобщает его, поскольку кольцо векторов Витта на коммутативной алгебре A в общем случае не является A -алгеброй.

Примечания

Литература

  • Andre Weil. Adeles and Algebraic Groups. — Birkhäuser, 1982. — Т. 23. — (Progress in Math). Заметки к лекциям, прочитанным в 1959-1960 годах.
    • Вейль А. // Математика. — 1964. — Т. 8 , вып. 4 . — С. 3-74 .
  • Siegfried Bosch, Werner Lütkebohmert, Michel Raynaud . Néron models. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1990. — Т. 21. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzbiete). — ISBN 3-540-50587-3 . — ISBN 0-387-50587-3 .
  • James S. Milne. On the arithmetic of abelian varieties // Invent. Math. — 1972. — Вып. 17 . — С. 177-190 .
  • Martin Olsson. // Duke Math J.. — 2006. — Вып. 134 . — С. 139–164 .
  • Bjorn Poonen. . — American Mathematical Society, 2017. — Т. 186. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 978-1-4704-3773-2 .
  • Aleksander Lech Momot. . — 2010.
Источник —

Same as Ограничение Вейля