Interested Article - Заряд (теория меры)
![](/images/006/579/6579508/1.jpg?rand=299586)
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/a7cf8b1676a33f2d7b907899a3a94169.gif)
- 2021-04-17
- 1
Заряд — вещественнозначная конечно-аддитивная функция множества, определённая на некоторой -алгебре, (например, борелевских подмножеств ).
В отличие от обычной меры, под которой обычно понимают неотрицательную функцию множества, заряд может принимать и отрицательные значения.
Множество всех зарядов над произвольным множеством c сигма-алгеброй принято обозначать .
Связанные определения
-
Положительный заряд
называется
чисто конечно аддитивным
, если для любой неотрицательной счётно-аддитивной меры
из
вытекает, что
.
- Произвольный заряд чисто конечно аддитивен, если таковы заряды и .
- Заряд абсолютно непрерывен относительно меры , если
Свойства
- Множество всех зарядов образует и даже, более того, -пространство.
- Для любого заряда имеется положительная часть и отрицательная часть . Имеет место разложение Хана — Жордана , в силу которого свойства зарядов могут быть выражены в терминах теории меры.
-
Пусть
.
Любой заряд единственным образом представим в виде суммы , где относительно и дизъюнктна . Такое представление меры принято назвать разложением по Лебегу. - Любой заряд единственным образом представим в виде суммы , где — произвольная счётно-аддитивная мера, а — произвольный чисто конечно-аддитивный заряд. Такое разложение иногда называют разложением Иосиды — Хьюита .
- Пространство является топологически сопряжённым к пространству измеримых и ограниченных функций, заданных над данным измеримым пространством.
История
Термин «заряд» был впервые введён А. Д. Александровым . Изучение заряда послужило толчком для развития конечно-аддитивной теории меры (1940-е годы).
См. также
Литература
- Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. — М. : ИЛ, 1962.
- Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциалов. — М. , 1966.
- Халмош П. Теория меры. // Пер. с англ. — М. , 1953.
- Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces I // Матем. сборник 1940. V.8(50), N 2. P.307-348.
- Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces II // Матем. сборник 1941. V.9(51), N 3. P.563-628.
- Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces III // Матем. сборник 1943. V.13(55), N 2. P.169-293.
- Yosida K., Hewitt E. Finitely additive mesures // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. v. 72, N 1. P. 46—66.
![](https://cdn.wafarin.com/avatars/a7cf8b1676a33f2d7b907899a3a94169.gif)
- 2021-04-17
- 1