Экспоненциа́льное (или показа́тельное ) распределе́ние — абсолютно непрерывное распределение , моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Определение

Случайная величина ${\displaystyle X}$ имеет экспоненциальное распределение с параметром ${\displaystyle \lambda >0}$ , если её плотность вероятности имеет вид:

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}\lambda \,e^{-\lambda x},&x\geq 0,\\0,&x<0.\end{cases}}}$ .

Пример. Пусть есть магазин, в который время от времени заходят покупатели. При определённых допущениях время между появлениями двух последовательных покупателей будет случайной величиной с экспоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового покупателя (см. ниже) равно ${\displaystyle 1/\lambda }$ . Сам параметр ${\displaystyle \lambda }$ тогда может быть интерпретирован как среднее число новых покупателей за единицу времени.

В этой статье для определённости будем предполагать, что плотность экспоненциальной случайной величины ${\displaystyle X}$ задана первым уравнением, и будем писать: ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )}$ .

Функция распределения

Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения :

${\displaystyle F_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-\lambda x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}$

Моменты

Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального распределения имеет вид:

${\displaystyle \mathrm {M} _{X}(t)=\left(1-{t \over \lambda }\right)^{-1}}$ ,

откуда получаем все моменты:

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}}$ .

В частности,

${\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {1}{\lambda }}}$ ,

${\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{2}\right]={\frac {2}{\lambda ^{2}}}}$ ,

${\displaystyle \operatorname {D} [X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$ .

Независимость событий

Пусть ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )}$ . Тогда ${\displaystyle \mathbb {P} (X>s+t\mid X\geqslant s)=\mathbb {P} (X>t)}$ .

Пример. Пусть автобусы приходят на остановку случайно, но с некоторой фиксированной средней интенсивностью. Тогда количество времени, уже затраченное пассажиром на ожидание автобуса, не влияет на время, которое ему ещё придётся прождать.

Связь с другими распределениями

• Экспоненциальное распределение является распределением Пирсона типа X .
• Минимум независимых экспоненциальных случайных величин также экспоненциальная случайная величина. Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ независимые случайные величины, и ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{i})}$ . Тогда :

${\displaystyle Y=\min \limits _{i=1,\ldots ,n}(X_{i})\sim \mathrm {Exp} \left(\sum \limits _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).}$

• Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения :

${\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda )\equiv \Gamma (1,1/\lambda ).}$

• Сумма независимых одинаково распределённых экспоненциальных случайных величин имеет гамма-распределение. Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ независимые случайные величины, и ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda )}$ . Тогда:

${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma (n,1/\lambda ).}$

• Экспоненциальное распределение может быть получено из непрерывного равномерного распределения методом обратного преобразования . Пусть ${\displaystyle U\sim U[0,1]}$ . Тогда:

${\displaystyle X=-{\frac {1}{\lambda }}\ln U\sim \mathrm {Exp} (\lambda ).}$

• Экспоненциальное распределение с параметром ${\displaystyle \lambda =1/2}$ — это частный случай распределения хи-квадрат :

${\displaystyle \mathrm {Exp} (1/2)\equiv \chi ^{2}(2).}$

• Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла .
• Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ независимые случайные величины, и ${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda )}$ и ${\displaystyle Y=\max {X_{1},...,X_{n}},Z=X_{1}+{\frac {X_{2}}{2}}+...+{\frac {X_{n}}{n}}}$ . Тогда:

${\displaystyle P(Y<t)=(1-\exp(-\lambda t))^{n},P(Z<t)=(1-\exp(-\lambda t))^{n}.}$

Примечания

Литература

• Королюк В. С. , , Скороход А. В. , Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М. : Наука, 1985. — 640 с.