Формула Брейта — Вигнера или релятивистское распределение Брейта — Вигнера — формула, описывающая непрерывное распределение вероятности с помощью плотности вероятности заданной в виде

${\displaystyle f(E)={\frac {k}{\left(E^{2}-M^{2}\right)^{2}+M^{2}\Gamma ^{2}}}~,}$

где K — константа пропорциональности, равная ${\displaystyle k={\frac {2{\sqrt {2}}M\Gamma \gamma }{\pi {\sqrt {M^{2}+\gamma }}}}}$ и ${\displaystyle \gamma ={\sqrt {M^{2}\left(M^{2}+\Gamma ^{2}\right)}}.}$ Уравнение написано с использованием , где ħ = с = 1. Названа в честь Грегори Брейта и Юджина Вигнера , которые получили её в 1936 году для ядерного резонанса .

Формула часто используется для моделирования резонансов (нестабильных частиц) в физике высоких энергий. В этом случае, Е — энергия в системе центра масс, которая вызывает резонанс, М — масса резонанса, и Γ — ширина резонанса ( ширина распада ), связанная с его средним временем жизни в соответствии с формулой τ = 1 / Γ, (в единицах СИ формула запишется в виде τ = ħ / Γ). Вероятность возникновения резонанса при заданной энергии Е пропорциональна f ( E ), так что график скорости возникновения нестабильных частиц в зависимости от энергии принимает форму релятивистского распределения Брейта — Вигнера. Обратите внимание, что для значений Е таких, что | Е ² — М ² | = MΓ , (отсюда | E — M | = Γ / 2 для M >> Γ ), значение f падает в два раза от своего максимального значения, что оправдывает название Г шириной на полувысоте .

В пределе исчезающей ширины, Г → 0, частица становится стабильной, так как лоренцево распределение становится бесконечно острым 2 M δ( Е ² — М ² ).

В общем случае, Γ также может быть функцией E ; эта зависимость, как правило, важна только когда Γ не мала по сравнению с М , и необходимо принимать во внимание зависимость ширины от объёма фазового пространства . Например, при распаде ро-мезона в пару пионов . Когда резонанс широкий, множитель M ² , который стоит перед Г ² , также должен быть заменен на E ² (или Е ⁴ / М ² , и т. д.) .

Форма релятивистского распределения Брейта — Вигнера возникает из пропагатора нестабильной частицы, которая имеет знаменатель вида р ² — М ² + i MΓ . Здесь, р ² — квадрат четыре-импульса частицы. Тогда пропагатор в системе покоя пропорционален квантово-механической амплитуде распада, используемого для реконструкции резонанса

${\displaystyle {\frac {\sqrt {k}}{\left(E^{2}-M^{2}\right)+iM\Gamma }}.}$

Полученное распределение вероятности пропорционально квадрату модуля амплитуды, так же как и в релятивистском распределении Брейта — Вигнера для функции плотности вероятности.

Форма этого распределения аналогична решению классического уравнения движения для затухающего осциллятора с внешней синусоидальной силой. Он имеет стандартную форму резонанса Лоренца, или распределения Коши , но включает в себя релятивистские переменные S = р ² , здесь = E ² .

Распределение является решением дифференциального уравнения, аналогичного классическим вынужденным осцилляциям маятника, с усредненной по времени входной мощностью

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}f'({\text{E}})\left(\left({\text{E}}^{2}-M^{2}\right)^{2}+\Gamma ^{2}M^{2}\right)-4{\text{E}}f({\text{E}})(M-{\text{E}})({\text{E}}+M)=0\\[10pt]f(M)={\frac {k}{\Gamma ^{2}M^{2}}}\end{array}}\right\}}$ .

Примечания