Групповое кольцо — это кольцо , являющееся в то же время свободным модулем , которое можно построить по данному кольцу и данной группе . Неформально говоря, групповое кольцо ${\displaystyle K[G]}$ — это свободный модуль над кольцом ${\displaystyle K,}$ базис которого находится в биективном соответствии с элементами группы ${\displaystyle G,}$ умножение базисных элементов определяется как умножение элементов группы, а на остальные элементы умножение «распространяется по линейности».

Аппарат групповых колец особенно полезен в теории представлений групп .

Определение

Пусть ${\displaystyle K}$ — кольцо, а ${\displaystyle G}$ — группа. Тогда групповым кольцом ${\displaystyle K[G]}$ называется множество конечных формальных сумм вида ${\displaystyle \alpha =\sum _{g\in G}a_{g}g,\quad a_{g}\in K}$ , которые складываются и умножаются следующим образом:

Если ${\displaystyle \alpha =\sum _{g\in G}a_{g}g,\ \beta =\sum _{g\in G}b_{g}g}$ , то

${\displaystyle \alpha +\beta =\sum _{g\in G}(a_{g}+b_{g})g}$

${\displaystyle \alpha \cdot \beta =\sum _{g\in G}\left(\sum _{xy=g, \atop x,y\in G}a_{x}b_{y}\right)g}$ .

Свойства

• Если ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle G}$ коммутативны, то ${\displaystyle K[G]}$ коммутативно.
• Если ${\displaystyle K}$ — кольцо с единицей, то ${\displaystyle K[G]}$ — кольцо с единицей.
• Вложение ${\displaystyle G}$ в ${\displaystyle K[G]}$ образует базис группового кольца.
• Если ${\displaystyle H}$ — подгруппа ${\displaystyle G}$ , то ${\displaystyle K[H]}$ — подкольцо кольца ${\displaystyle K[G]}$ .
• Пусть ${\displaystyle K}$ является полем , тогда каждому элементу ${\displaystyle G}$ можно сопоставить линейное преобразование векторного пространства ${\displaystyle K[G]}$ — умножение на соответствующий базисный вектор слева. Это сопоставление задаёт регулярное представление группы .

Литература

• Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. — М. : Наука, 1976.
• Наймарк М. Теория представлений групп. — М. : Наука, 1976.