${\displaystyle p}$ -примарная абелева группа (где ${\displaystyle p}$ — фиксированное простое число ) — абелева группа ${\displaystyle (A,+)}$ , такая что порядок любого элемента из ${\displaystyle A}$ является степенью ${\displaystyle p}$ .

Примеры

• ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{p^{n}},+)}$ — аддитивная группа классов вычетов по модулю ${\displaystyle p^{n}}$ ;
• ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{p}[x],+)}$ — аддитивная группа кольца многочленов над полем ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ .

Свойства

• Любая периодическая абелева группа (то есть группа без элементов бесконечного порядка) разлагается в прямую сумму ${\displaystyle p}$ -примарных подгрупп.

Примарная абелева группа ${\displaystyle (A,+)}$ называется элементарной, если все ее ненулевые элементы имеют порядок равный ${\displaystyle p}$ .

• Абелева группа ${\displaystyle A}$ является ${\displaystyle p}$ -примарной элементарной тогда и только тогда, когда она разлагается в прямую сумму групп вида ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ .

${\displaystyle p}$ -высотой элемента ${\displaystyle a\in A}$ называется наименьшее натуральное число ${\displaystyle n}$ , такое что ${\displaystyle a\in nA}$ . Если такого натурального ${\displaystyle n}$ не существует, то элемент ${\displaystyle a}$ имеет бесконечную ${\displaystyle p}$ -высоту.

• Критерий Куликова : ${\displaystyle p}$ -примарная абелева группа ${\displaystyle A}$ является прямой суммой циклических групп тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$ есть объединение возрастающей цепочки подгрупп

${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \ldots \subseteq A_{n}\subseteq \ldots ,\;\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}=A}$ ,

где ${\displaystyle p}$ -высоты ненулевых элементов подгрупп ${\displaystyle A_{i}}$ меньше фиксированного элемента ${\displaystyle k_{n}}$ .

Критерий Куликова обобщает теоремы Прюфера :

• Первая теорема Прюфера : Ограниченная ${\displaystyle p}$ -примарная (периодическая) абелева группа является прямой суммой циклических подгрупп.
• Вторая теорема Прюфера : Счетная ${\displaystyle p}$ -примарная абелева группа разлагается в прямую сумму циклических подгрупп тогда и только тогда, когда она не содержит ненулевых элементов бесконечной ${\displaystyle p}$ -высоты.

Литература

• Л. Фукс Бесконечные абелевы группы. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1974, 1977.
• Л. Я. Куликов К теории абелевых групп произвольной мощности // Математический сборник , 1941. — Т. 9, № 1. — С. 165—181.
• H. Prüfer Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen // Mathematische Zeitschrift, 1923. — Т. 17, № 1. — С. 35-61.