Едини́чная ма́трица — квадратная матрица ${\displaystyle E_{n}=(e_{ij})}$ размера (порядка) ${\displaystyle n}$ , элементы главной диагонали которой равны единице поля ( ${\displaystyle e_{ii}=1}$ ), а остальные равны нулю ( ${\displaystyle e_{ij}=0}$ при ${\displaystyle i\neq j}$ ) .

Единичную матрицу можно также определить как матрицу ${\displaystyle (e_{ij})}$ , у которой ${\displaystyle e_{ij}=\delta _{ij}}$ , где ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — символ Кронекера .

Единичная матрица является частным случаем скалярной матрицы .

Произведение любой матрицы и единичной матрицы подходящего размера равно самой матрице : ${\displaystyle AE=EA=A}$ . Квадратная матрица в нулевой степени даёт единичную матрицу того же размера : ${\displaystyle A^{0}=E}$ . При умножении матрицы на обратную ей, тоже получается единичная матрица : ${\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=E}$ . Единичная матрица получается при умножении ортогональной матрицы на её транспонированную матрицу : ${\displaystyle AA^{T}=E}$ . Определитель единичной матрицы равен единице: ${\displaystyle \mathrm {det} \,E=1}$ .

Единичные матрицы первых трёх порядков:

${\displaystyle E_{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}},\ E_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\ E_{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Примечания

Литература

• Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц. — 2-е изд., доп.. — М. : Наука , 1966. — 576 с.