Interested Article - Абсолютная геометрия

Абсолютная геометрия (или нейтральная геометрия ) — часть классической геометрии, независимая от пятого постулата евклидовой аксиоматики (то есть в абсолютной геометрии пятый постулат может выполняться, а может и не выполняться). Абсолютная геометрия содержит предложения, общие для евклидовой геометрии и для геометрии Лобачевского .

Термин был предложен Яношем Бойяи в 1832 году . Правда, сам Бойяи вкладывал в него несколько иной смысл: он называл абсолютной геометрией специально разработанную им символику, которая позволяла объединять одной формулой теоремы как евклидовой геометрии, так и геометрии Лобачевского .

Примеры теорем абсолютной геометрии

Первые 28 теорем « Начал » Евклида относятся к абсолютной геометрии. Приведём ещё несколько примеров таких теорем :

У равнобедренного треугольника углы при основании равны.
Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего, не смежного с ним.
Во всяком треугольнике по крайней мере два угла острые.
При пересечении двух прямых вертикальные углы равны.
Большей из двух сторон треугольника противостоит и больший угол, и наоборот, большему углу противостоит бо́льшая сторона.
Перпендикуляр (из точки на прямую) короче наклонной.
Каждая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других его сторон.
Сумма углов треугольника не превосходит 180°.

Теоремы, не входящие в абсолютную геометрию

Современная аксиоматика евклидовой геометрии (например, аксиоматика Гильберта ) полна , то есть любое корректное утверждение в этой теории может быть доказано или опровергнуто. Абсолютная геометрия неполна: поскольку пятый постулат определяет метрические свойства однородного пространства , отсутствие его в абсолютной геометрии означает, что метрика пространства не определена, и большинство теорем, связанных с измерениями (например, теорема Пифагора или теорема о сумме углов треугольника ) не могут быть доказаны в абсолютной геометрии .

Другие примеры теорем, не входящих в абсолютную геометрию:

Признаки подобия треугольников .
Многочисленные эквиваленты V постулата

Вариации и обобщения

В абсолютной геометрии параллельные прямые всегда существуют (см. теоремы 27 и 28 «Начал» Евклида , доказанные без опоры на пятый постулат), поэтому сферическая геометрия , в которой нет параллельных, несовместима с абсолютной геометрией. Однако можно построить аксиоматику, объединяющую все три типа неевклидовых геометрий (евклидову, сферическую и геометрию Лобачевского) , и тогда абсолютную геометрию можно определить как их общую часть. Это новое определение более широкое, чем прежнее — например, теорема «сумма углов треугольника не превосходит 180°» перестаёт быть верной.

Примечания

Абсолютная геометрия // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия , 1977. — Т. 1. — С. 34.
, с. 88—89.
Больаи Я. от 21 апреля 2013 на Wayback Machine // Об основаниях геометрии (сб. статей), М., ГИТТЛ, 1956. Серия «Классики естествознания».
Математика XIX века. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций / Под ред. Колмогорова А. Н. , Юшкевича А. П. . — М. : Наука, 1981. — С. 64—65. — 270 с.
, с. 14, 67 и далее, 89.
↑ .
См, например: Gunter Ewald . Geometry: an introduction. Wadsworth Publishing. 1st. 1971, 399 pages. ISBN 0534000347 .
Peil, Timothy. (англ.) . // Survey of Geometry . Дата обращения: 18 октября 2016. 19 октября 2016 года.

Литература

Гильберт Д. Основания геометрии. — М. — Л. : ГИТТЛ, 1948. — 492 с. — (Классики естествознания. Математика, механика, физика, астрономия).
Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М. : Физматлит, 1971.
- Переиздание: 2004, издательство «Физматлит», ISBN 5-9221-0267-2 .