Круговое поле , или поле деления круга степени n — это поле ${\displaystyle K_{n}=\mathbb {Q} (u)}$ , порождённое присоединением к полю рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ первообразного корня n -й степени из единицы ${\displaystyle u}$ . Круговое поле является подполем поля комплексных чисел .

Название поля связано с тем, что деление единичной окружности на n равных частей равносильно построению первообразного корня из единицы n -й степени на комплексной плоскости . Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел , теории чисел и теории Галуа .

Пример: ${\displaystyle K_{3}}$ состоит из комплексных чисел вида ${\displaystyle a+b{\sqrt {3}}\ i}$ , где ${\displaystyle a,b}$ — рациональные числа.

Свойства

• Круговое поле содержит все корни n -й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними. Оно не зависит от выбора первообразного корня n -й степени из единицы.
  • Следствие: круговое поле является полем разложения многочлена ${\displaystyle x^{n}-1}$ .
• ${\displaystyle K_{4n+2}=K_{2n+1}}$ , поэтому обычно предполагается, что остаток от деления n на 4 не равен 2 ${\displaystyle (n\not \equiv 2{\pmod {4}})}$ . При выполнении этого условия разным n соответствуют неизоморфные круговые поля.
• Поле ${\displaystyle K_{n}}$ является абелевым расширением поля ${\displaystyle {\mathbb {Q} }}$ с группой Галуа ${\displaystyle G(K_{n}/{\mathbb {Q} })\simeq (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*},}$

где ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}}$ — мультипликативная группа классов вычетов по модулю n . Степень расширения ${\displaystyle [K_{n}:{\mathbb {Q} }]}$ равна φ( n ) ( функция Эйлера ).

Теорема Кронекера — Вебера : всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.

См. также

• Круговой многочлен

Литература

• Айерлэнд К., Роузен М. . М.: Мир, 1987.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Мир, 1975.

Ссылки

• Milne, James S. (неопр.) . Course Notes (1998). 2 апреля 2012 года.