Данная теорема была сформулирована
Анри Пуанкаре
; статью с утверждением он направил в журнал за две недели до смерти.
Доказательство дал
Джордж Биркгоф
спустя полгода;
его доказательство содержало неточность, которая была исправлена Брауном и Ньюманом
.
Содержание
Формулировка
Пусть
— плоское кольцо, ограниченное концентрическими окружностями с радиусами
и
. Пусть также (в полярных координатах) дано отображение этого кольца в себя:
,
удовлетворяющее следующим условиям:
отображение сохраняет площадь и
гомотопно
тождественному;
каждая граничная окружность переходит в себя:
,
;
точки с
передвигаются против часовой стрелки, а точки с
— по часовой стрелке. Более точно, функция
непрерывна и
и
при любом
.
Тогда это отображение имеет две неподвижные точки.
Вариации и обобщения
Теорема остаётся верной, если вместо сохранения площади потребовать, чтобы никакая область кольца не преобразовывалась в своё собственное подмножество.
Примечания
Poincare H., «Rend. circ. mat. Palermo», 1912, v. 33, p. 375—407
Birkhoff G., «Trans. Amer. Math. Soc.», 1913, V. 14, p. 14—22
M. Brown, W. D. Neumann.
3 марта 2016 года.
// Michigan Math. J. 24 (1977) 21—31.
(англ.)