Теорема Гельфонда—Шнайдера — теорема в теории чисел , которая устанавливает трансцендентность большого класса чисел и тем самым решает (утвердительно) Седьмую проблему Гильберта . Была доказана независимо в 1934 году советским математиком Александром Гельфондом и немецким математиком Теодором Шнайдером .

Формулировка

Если ${\displaystyle a,b}$ — алгебраические числа , причём ${\displaystyle a}$ не ноль и не единица, а ${\displaystyle b}$ иррационально , то любое значение ${\displaystyle a^{b}}$ — трансцендентное число .

Эквивалентные формулировки для логарифмов (основание логарифма выбирается произвольно) :

Если ${\displaystyle a,b}$ — алгебраические числа , не равные нулю или единице, то ${\displaystyle \log(b)/\log(a)}$ — либо рациональное , либо трансцендентное число .

Если ${\displaystyle \log(a),\log(b)}$ линейно независимы над полем рациональных чисел , то они линейно независимы и над полем алгебраических чисел .

Про обобщение последней формулировки см. статью Теория трансцендентных чисел .

Пояснения

• Значения ${\displaystyle a,b}$ могут быть не только вещественными , но и комплексными числами ; поскольку комплексная степень многозначна, в формулировке особо подчёркнуто: любое значение .
• Если убрать требование, чтобы ${\displaystyle a,b}$ были алгебраическими числами , теорема будет неверна. Пример:

${\displaystyle {\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2.}$

Из примера, с учётом теоремы, также очевидно, что ${\displaystyle {{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}}$ — трансцендентное число.

• доказал аналог данной теоремы для p-адических чисел .

Следствия

Из теоремы вытекает трансцендентность некоторых важных математических констант .

• Постоянная Гельфонда — Шнайдера ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ и уже упомянутый выше квадратный корень из неё: ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}.}$
• Постоянная Гельфонда ${\displaystyle e^{\pi }=\left(e^{i\pi }\right)^{-i}=(-1)^{-i}=23.14069263\ldots }$ , а также ${\displaystyle i^{i}=\left(e^{i\pi /2}\right)^{i}=e^{-\pi /2}=0.207879576\ldots .}$

См. также

• Теорема Линдемана — Вейерштрасса

Примечания

Литература

• Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа. — М. : ГИТТЛ, 1952. — 224 с.
• Трансцендентное число // . — М. : Советская Энциклопедия , 1985. — Т. 5.
• Фельдман Н. И. Седьмая проблема Гильберта. — М. : Изд-во МГУ, 1982. — 312 с.
• Baker, Alan. Transcendental Number Theory. — Cambridge University Press , 1975. — ISBN 0-521-20461-5 .
• Lang, Serge. Introduction to Transcendental Numbers. — Addison–Wesley, 1966. — ISBN 0-521-20461-5 .

Ссылки

• Жуков А. (неопр.) . Дата обращения: 9 августа 2017.
• Фельдман Н. (неопр.) . Дата обращения: 9 августа 2017.
• Hyun Seok, Lee. (неопр.) . Дата обращения: 9 августа 2017.
• Waldschmidt, Michel (2001). // Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer , ISBN 978-1-55608-010-4 .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .