Теорема Стокса
- 1 year ago
- 0
- 0
Теорема Па́риса — Ха́ррингтона (или Пэ́риса — Ха́ррингтона ) — теорема в математической логике , ставшая первым в истории математики естественным и относительно несложным примером утверждения о натуральных числах , которое истинно, но недоказуемо в аксиоматике Пеано . Существование недоказуемых теорем арифметики прямо вытекает из первой теоремы Гёделя о неполноте (1930 год). Кроме того, вторая теорема Гёделя , (опубликованная вместе с первой), даёт конкретный пример такого утверждения: а именно утверждение о непротиворечивости арифметики. Однако долгое время не было известно «естественных» примеров таких утверждений, то есть таких утверждений, которые бы возникали не из утверждений о некоторой логике, а были бы естественными математическими утверждениями о числах.
Данная теорема и её доказательство были опубликованы в 1977 году Джеффри Парисом (Великобритания) и Лео Харрингтоном (США).
Результат Париса—Харрингтона опирается на несколько модифицированную комбинаторную теорему Рамсея :
Для любых натуральных чисел можно указать натуральное со следующим свойством: если мы окрасим каждое из -элементных подмножеств в один из цветов, то в существует подмножество содержащее не менее элементов таких, что все -элементные подмножества имеют один и тот же цвет, а количество элементов не меньше, чем наименьший элемент |
Без условия « количество элементов не меньше, чем наименьший элемент » это утверждение вытекает из конечной теоремы Рамсея . Отметим, что усиленный вариант теоремы Рамсея может быть записан на языке логики первого порядка .
Теорема Париса-Харрингтона утверждает:
Сформулированная выше усиленная теорема Рамсея не доказуема в аксиоматике Пеано . |
В своей статье Парис и Харрингтон показали, что из этой теоремы вытекает непротиворечивость аксиоматики Пеано; однако, как показал Гёдель , арифметика Пеано не в состоянии доказать свою собственную непротиворечивость, поэтому теорема Париса-Харрингтона в ней недоказуема. С другой стороны, используя логику второго порядка или аксиоматику теории множеств ZF , несложно доказать, что усиленная теорема Рамсея истинна .