Упорядоченное кольцо в общей алгебре — это кольцо ${\displaystyle R}$ (обычно коммутативное ), для всех элементов которого определён линейный порядок , согласованный с операциями кольца. Наиболее практически важными примерами являются кольцо целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ и кольца целых кратных .

Определение

Пусть ${\displaystyle R}$ — кольцо , для элементов которого определён линейный порядок , то есть задано отношение ${\displaystyle \leqslant }$ ( меньше или равно ) со следующими свойствами .

1. Рефлексивность : ${\displaystyle x\leqslant x}$ .
2. Транзитивность : если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle y\leqslant z}$ , то ${\displaystyle x\leqslant z}$ .
3. Антисимметричность : если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle y\leqslant x}$ , то ${\displaystyle x=y}$ .
4. Линейность: все элементы ${\displaystyle F}$ сравнимы между собой, то есть либо ${\displaystyle x\leqslant y}$ , либо ${\displaystyle y\leqslant x}$ .

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения кольца:

5. Если ${\displaystyle x\leqslant y}$ , то для любого z : ${\displaystyle x+z\leqslant y+z}$ .
6. Если ${\displaystyle 0\leqslant x}$ и ${\displaystyle 0\leqslant y}$ , то ${\displaystyle 0\leqslant xy}$ .

Если все 6 аксиом выполнены, то кольцо ${\displaystyle R}$ называется упорядоченным .

Примеры упорядоченных колец

• Кольцо целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$
• Кольцо чётных чисел и вообще любое кольцо чисел, кратных заданному ненулевому вещественному числу ${\displaystyle k}$ (не обязательно целому).
• Любое упорядоченное поле — например, поля рациональных и вещественных чисел ) являются также упорядоченными кольцами.
• Пример упорядоченного кольца с делителями нуля : если в аддитивной группе целых чисел положить все произведения равными нулю, то получится упорядоченное кольцо, в котором любой элемент является делителем нуля (единица тогда не является нейтральным элементом для умножения, так что получается кольцо без единицы) .

Связанные определения

Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:

Отношение больше или равно : ${\displaystyle x\geqslant y}$ означает, что ${\displaystyle y\leqslant x}$ .

Отношение больше : ${\displaystyle x>y}$ означает, что ${\displaystyle x\geqslant y}$ и ${\displaystyle x\neq y}$ .

Отношение меньше : ${\displaystyle x<y}$ означает, что ${\displaystyle y>x}$ .

Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством .

Элементы, бо́льшие нуля, называются положительными , а меньшие нуля — отрицательными . Множество положительных элементов упорядоченного кольца ${\displaystyle R}$ часто обозначается через ${\displaystyle R_{+}.}$

Дискретное упорядоченное кольцо — это упорядоченное кольцо, в котором нет элементов между 0 и 1. Целые числа представляют собой дискретное упорядоченное кольцо, а рациональные числа — нет.

Основные свойства

Для всех ${\displaystyle x,y,z\in R}$ имеют место следующие свойства.

• Всякий элемент упорядоченного кольца относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если ${\displaystyle x}$ положителен, то ${\displaystyle -x}$ отрицателен, и наоборот.
• Однотипные неравенства можно складывать:

Если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle x'\leqslant y'}$ , то ${\displaystyle x+x'\leqslant y+y'}$ .

• Неравенства можно умножать на неотрицательные элементы:

Если ${\displaystyle x\leqslant y}$ и ${\displaystyle z\geqslant 0}$ , то ${\displaystyle zx\leqslant zy}$ .

• Упорядоченное кольцо не имеет делителей нуля тогда и только тогда, когда произведение положительных элементов положительно.
• Правило знаков: произведение ненулевых элементов с одинаковыми знаками неотрицательно (если в кольце нет делителей нуля, то положительно), а произведение положительного элемента на отрицательный неположительно (если нет делителей нуля, то отрицательно),
  • Следствие 1: в упорядоченном кольце квадрат ненулевого элемента всегда неотрицателен (а если нет делителей нуля, то положителен) .
  • Следствие 2: в упорядоченном кольце с единицей всегда ${\displaystyle 1>0}$ (так как 1 есть квадрат самой себя) .
• Упорядоченное кольцо, которое не является тривиальным (то есть содержит не только ноль), бесконечно.
• Любое упорядоченное кольцо с единицей и без делителей нуля содержит одно и только одно подкольцо, изоморфное кольцу ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ целых чисел .

Примеры колец и полей, которые не допускают упорядочения

• Комплексные числа не образуют упорядоченного кольца, потому что в упорядоченном кольце, как указано выше, квадрат элемента всегда неотрицателен, и мнимая единица не может в него входить.
• Конечные поля .
• p-адические числа .

Абсолютная величина

Определим абсолютную величину элемента ${\displaystyle x:}$

${\displaystyle |x|=\max(x,-x)}$

Здесь функция ${\displaystyle \max }$ осуществляет выбор наибольшего значения. Она обладает следующими свойствами (для всех ${\displaystyle x,y}$ из кольца) .

• ${\displaystyle |x|=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x=0}$ .
• Для всех ненулевых ${\displaystyle x}$ и только для них ${\displaystyle |x|>0}$ .
• Абсолютные величины противоположных чисел совпадают: ${\displaystyle |x|=|{-x}|}$
• Неравенство треугольника : ${\displaystyle |x+y|\leqslant |x|+|y|}$ .
• Мультипликативность: ${\displaystyle |xy|=|x||y|.}$
• ${\displaystyle |x|\leqslant y}$ равносильно ${\displaystyle -y\leqslant x\leqslant y}$

Вариации и обобщения

Теория упорядоченных колец охватывает также особые случаи некоммутативных (или даже неассоциативных) колец. Исследуются и другие вариации:

• Кольцо является не линейным, а лишь частично упорядоченным , то есть не все элементы можно сравнить с помощью заданного порядка .
• Вместо кольца имеется полукольцо , то есть в нём, вообще говоря, нет вычитания . Пример: натуральный ряд , расширенный нулём.

Примечания

Литература

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М. : Наука, 1965. — С. 271—272. — 299 с.
• Нечаев В. И. 6.4. Линейно упорядоченные кольца и тела // Числовые системы. — М. : Просвещение, 1975. — С. 90—94. — 199 с.

Ссылки

• на сайте PlanetMath (англ.) .