Моното́нная фу́нкция — функция одной переменной, определённая на некотором подмножестве действительных чисел, которая либо везде (на области своего определения) не убывает, либо везде не возрастает. Более точно, это функция ${\displaystyle f}$ , приращение которой ${\displaystyle \Delta f=f(x')-f(x)}$ при ${\displaystyle \Delta x=(x'-x)>0}$ не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное . Если в дополнение приращение ${\displaystyle \Delta f}$ не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной .

Функция называется возраста́ющей , если большему значению аргумента соответствует не меньшее (по другой терминологии — большее) значение функции. Функция называется убыва́ющей , если большему значению аргумента соответствует не большее (по другой терминологии — меньшее) значение функции.

Определения

Пусть дана функция ${\displaystyle f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .}$ Тогда

• функция ${\displaystyle f}$ называется возраста́ющей на ${\displaystyle M}$ , если

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)\geq f(y)}$ .

• функция ${\displaystyle f}$ называется стро́го возраста́ющей на ${\displaystyle M}$ , если

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)>f(y)}$ .

• функция ${\displaystyle f}$ называется убыва́ющей на ${\displaystyle M}$ , если

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)\leq f(y)}$ .

• функция ${\displaystyle f}$ называется стро́го убыва́ющей на ${\displaystyle M}$ , если

${\displaystyle \forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)<f(y)}$ .

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Другая терминология

Более естественно, когда под терминами возрастающая ( убывающая ) функция подразумеваются строго возрастающая (убывающая) функция. Тогда про нестрого возрастающую (убывающую) функцию говорят, неубывающая ( невозрастающая ) :

• Функция ${\displaystyle f(x)}$ называется возрастающей на некотором интервале, если для любых двух точек ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ этого интервала, таких что ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$ , справедливо ${\displaystyle f(x_{1})<f(x_{2})}$ . Другими словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
• Функция ${\displaystyle f(x)}$ называется убывающей на некотором интервале, если для любых двух точек ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ этого интервала, таких что ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$ , справедливо ${\displaystyle f(x_{1})>f(x_{2})}$ . Другими словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
• Функция ${\displaystyle f(x)}$ называется неубывающей на некотором интервале, если для любых двух точек ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ этого интервала, таких что ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$ , справедливо ${\displaystyle f(x_{1})\leq f(x_{2})}$ .
• Функция ${\displaystyle f(x)}$ называется невозрастающей на некотором интервале, если для любых двух точек ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ этого интервала, таких что ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$ , справедливо ${\displaystyle f(x_{1})\geq f(x_{2})}$ .
• Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными , неубывающие и невозрастающие функции — монотонными .

Данная терминология более лаконична.

Свойства монотонных функций

• Монотонная функция, определённая на интервале , измерима относительно борелевских сигма-алгебр .
• Монотонная функция, ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} ,}$ определённая на замкнутом интервале, ограничена . В частности, она интегрируема по Лебегу .
• Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода . В частности, множество точек разрыва не более чем счётно .
• Монотонная функция ${\displaystyle f:(a,b)\to \mathbb {R} }$ дифференцируема почти всюду относительно меры Лебега .

Условия монотонности функции

• (Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция ${\displaystyle f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )}}$ непрерывна на ${\displaystyle (a,b),}$ и имеет в каждой точке ${\displaystyle x\in (a,b)}$ производную ${\displaystyle f'(x).}$ Тогда

  ${\displaystyle f}$ не убывает на ${\displaystyle (a,b)}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)\geq 0;}$

  ${\displaystyle f}$ не возрастает на ${\displaystyle (a,b)}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)\leq 0.}$

• (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция ${\displaystyle f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )}}$ непрерывна на ${\displaystyle (a,b),}$ и имеет в каждой точке ${\displaystyle x\in (a,b)}$ производную ${\displaystyle f'(x).}$ Тогда

  если ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)>0,}$ то ${\displaystyle f}$ строго возрастает на ${\displaystyle (a,b);}$

  если ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)<0,}$ то ${\displaystyle f}$ строго убывает на ${\displaystyle (a,b).}$

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль . Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале ${\displaystyle (a,b).}$ Точнее имеет место

• (Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть ${\displaystyle f\in C{\bigl (}(a,b){\bigr )},}$ и всюду на интервале определена производная ${\displaystyle f'(x).}$ Тогда ${\displaystyle f}$ строго возрастает на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)\geq 0;}$
2. ${\displaystyle \forall (c,d)\subset (a,b)\;\exists x\in (c,d)\;f'(x)>0.}$

Аналогично, ${\displaystyle f}$ строго убывает на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)\leq 0;}$
2. ${\displaystyle \forall (c,d)\subset (a,b)\;\exists x\in (c,d)\;f'(x)<0.}$

Примеры

• Функция ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ строго возрастает на всей числовой прямой , несмотря на то, что точка ${\displaystyle x=0}$ является стационарной , т.е. в этой точке ${\displaystyle f'(x)=0}$ .
• Функция ${\displaystyle f(x)=\sin x}$ является строго возрастающей не только на открытом интервале ${\displaystyle (-\pi /2;\pi /2)}$ , но и на замкнутом интервале ${\displaystyle [-\pi /2;\pi /2]}$ .
• Экспонента ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ строго возрастает на всей числовой прямой .
• Константа ${\displaystyle f(x)\equiv a,\;a\in \mathbb {R} }$ одновременно не возрастает и не убывает на всей числовой прямой.
• Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.
• Функция Минковского — пример сингулярной строго возрастающей функции.

Вариации и обобщения

• Отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ между топологическими пространствами называется монотонным если каждая точка ${\displaystyle y\in Y}$ имеет связный прообраз ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ .

Примечания

См. также

• Дедекиндово число
• Монотонная последовательность
• Монотонный оператор