Аппроксима́ция Паде́ — классический метод рациональной аппроксимации аналитических функций , названный по имени французского математика Анри Паде . Метод заключается в представлении функции в виде отношения двух полиномов , коэффициенты которых определяются коэффициентами разложения функции в ряд Тейлора . Для разложения

${\displaystyle f(z)=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\ldots }$

с помощью аппроксимации Паде можно оптимальным способом выбрать коэффициенты ${\displaystyle a_{i}}$ и ${\displaystyle b_{i}}$ и получить аппроксимант

${\displaystyle {\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{1+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^{M}}}.}$

Использование этой простой идеи и её обобщений привело ко многим результатам и превратилось практически в фундаментальный метод исследования.

История

Авторство Паде основывается на его диссертации 1892 года (копия диссертации хранится в библиотеке Корнеллского университета ). В этой работе он изучил подобные аппроксимации и расположил их в , уделив при этом большое внимание экспоненциальной функции .

Определение

Пусть имеется разложение функции ${\displaystyle f(z)}$ в степенной ряд Тейлора :

${\displaystyle f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}z^{i},}$

где ${\displaystyle c_{i}}$ — коэффициенты ряда.

Аппроксимация Паде представляет собой рациональную функцию вида

${\displaystyle [L/M]={\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^{M}}},}$

разложение которой в ряд Тейлора (с центром в нуле) совпадает с разложением функции ${\displaystyle f(z)}$ до тех пор, пока это возможно. Функция такого вида имеет ${\displaystyle L+1}$ коэффициентов в числителе и ${\displaystyle M+1}$ — в знаменателе. Весь набор коэффициентов определяется с точностью до общего множителя ^{[ источник не указан 649 дней ]} .

Таблица Паде

Обобщения

• Многоточечные аппроксимации Паде
• Аппроксимации Бейкера — Гаммеля
• Аппроксимация функции нескольких переменных
• Матричные аппроксимации Паде
• Аппроксимация Паде — Чебышёва
• Аппроксимация Паде — Фурье

Численные методы нахождения

Примечания

Библиография

• Jeorge A. Baker, Jr.; Peter Graves-Morris. Аппроксимации Паде = Padé approximants / пер. с англ. Е. А. Рахманова, С. П. Суетина; ред. А. А. Гончар. — М. : Мир, 1986. — 502 с. — 6400 экз.

Ссылки

• Eric W. Weisstein. (англ.) . MathWorld. Дата обращения: 1 августа 2009.
• Бочканов С., Быстрицкий В. (неопр.) . Библиотека алгоритмов. Дата обращения: 1 августа 2009. Архивировано из 15 декабря 2005 года.
• Буслаев В. И. (неопр.) . Общеинститутский семинар «Математика и её приложения» Математического института им. В. А. Стеклова РАН (17 апреля 2008). — Видеозапись. Дата обращения: 1 августа 2009.
• Калюжный О., Коковин В. (рус.) . Дата обращения: 2012-17-12.