Пространство квадратично-суммируемых последовательностей — метрическое пространство , одно из базовых , состоит из бесконечных последовательностей чисел ${\displaystyle x=\{x_{n}\}_{i=1}^{\infty }}$ для которых ряд:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{2}}$

сходится и в котором определено расстояние ${\displaystyle \rho (x,y)}$ между двумя точками ${\displaystyle x,y}$ как :

${\displaystyle \rho (x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }(x_{i}-y_{i})^{2}}}}$ .

Стандартное обозначение — ${\displaystyle \ell ^{2}}$ . Единственное из пространств последовательностей ${\displaystyle \ell ^{p}}$ , являющееся гильбертовым .

Сумма элементов и умножение на вещественное число определяются покомпонентно по аналогии с евклидовым пространством :

${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{\infty }+\{y_{i}\}_{i=1}^{\infty }=\{x_{i}+y_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ , ${\displaystyle \lambda \{x_{i}\}_{i=1}^{\infty }=\{\lambda x_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ .

Скалярное произведение:

${\displaystyle (x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}}$ .

Норма в таком пространстве определяется как:

${\displaystyle \left\|x\right\|={\sqrt {(x,x)}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}^{2}}}}$ .

Примеры:

• бесконечные последовательности вида ${\displaystyle x=(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots ,{\frac {1}{n}},\dots )}$ входят в ${\displaystyle \ell ^{2}}$ , так как ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$ сходится;
• коэффициенты ряда Фурье ${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)}$ таковы, что ${\displaystyle ({\frac {a_{0}}{2}},a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\dots ,a_{n},b_{n},\dots )\in \ell ^{2}}$ , что следует из неравенства Бесселя .

Любое евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ является подпространством пространства ${\displaystyle \ell ^{2}}$ , что следует из возможности представления его точек в виде ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},0,0,\dots )}$ .

Квантовая механика первоначально была разработана в виде двух эквивалентных теорий: матричной механики Гейзенберга , использующей пространство ${\displaystyle \ell ^{2}}$ , и волновой механики Шрёдингера , использующей изоморфное ему гильбертово пространство ${\displaystyle L^{2}}$ .

Пространство ${\displaystyle \ell ^{2}}$ иногда называют координатным гильбертовым пространством .

См. также

• Пространство ограниченных последовательностей

Примечания

Литература

• Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. — М. : Физматлит, 1958. — 352 с. — 7500 экз.
• Гильбертово пространство — статья из Математического энциклопедического словаря