Треугольник точек касания вневписанных окружностей треугольника образован соединением точек, в которых вневписанные окружности касаются треугольника. Для краткости в статье будем называть этот треугольник треугольником внекасаний, хотя его часто называют треугольником Нагеля . Некоторые его свойства есть в статье Точка Нагеля .

Координаты

Вершины треугольника внекасаний задаются трилинейными координатами :

${\displaystyle T_{A}=0:\csc ^{2}{\left(B/2\right)}:\csc ^{2}{\left(C/2\right)}}$

${\displaystyle T_{B}=\csc ^{2}{\left(A/2\right)}:0:\csc ^{2}{\left(C/2\right)}}$

${\displaystyle T_{C}=\csc ^{2}{\left(A/2\right)}:\csc ^{2}{\left(B/2\right)}:0}$

Или, эквивалентно, если a,b,c являются длинами сторон, противоположных углам A, B, C соответственно,

${\displaystyle T_{A}=0:{\frac {a-b+c}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}}$

${\displaystyle T_{B}={\frac {-a+b+c}{a}}:0:{\frac {a+b-c}{c}}}$

${\displaystyle T_{C}={\frac {-a+b+c}{a}}:{\frac {a-b+c}{b}}:0.}$

Связанные фигуры

треугольника являются отрезки, соединяющие вершины исходного треугольника с соответствующими вершинами треугольника внекасаний. Они делят периметр пополам (это и есть определение разделителя периметра) и пересекаются в точке Нагеля , которая на рисунке выделена синим цветом и помечена буквой «N».

Эллипс Мандара касается сторон исходного треугольника в трёх вершинах треугольника внекасаний .

Площадь

Площадь треугольника внекасаний, ${\displaystyle K_{T}}$ , задаётся формулой:

${\displaystyle K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}}$ ,

где ${\displaystyle K}$ , ${\displaystyle r}$ , ${\displaystyle s}$ являются площадью, радиусом вписанной окружности и полупериметром исходного треугольника, а ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$ являются длинами сторон исходного треугольника.

Это та же площадь, что и у треугольника касаний .

Примечания

Литература

См. также

• Точка Нагеля