Поляро́н — квазичастица в кристалле, состоящая из электрона и сопровождающего его поля упругой деформации ( поляризации ) решётки. Медленно движущийся электрон в диэлектрическом кристалле , взаимодействующий с ионами решётки через дальнодействующие силы, будет постоянно окружён областью решёточной поляризации и деформации , вызванной движением электрона. Двигаясь через кристалл, электрон проводит решёточную деформацию, потому можно говорить о наличии облака фононов , сопровождающего электрон. Характер поляризации и энергия связи электрона с решёткой отличаются в металлах , полупроводниках и ионных кристаллах. Это связано с типом связи и скоростью движения электронов в решётке.

Понятие о поляроне введено советским физиком С. И. Пекаром в 1946 году , им же впоследствии была развита их теория . Эта теория основывается на электростатическом взаимодействии электрона проводимости на длинноволновые оптические фононы.

Поляроны в металлах

Поляризация решётки осуществляется не всеми электронами, а только фермиевскими электронами. В простейшем случае, для квадратичной дисперсии и сферической поверхности Ферми , эффективная масса фермиевских электронов ${\displaystyle m^{*}\approx m_{0}}$ ( ${\displaystyle m_{0}}$ — масса свободного электрона), а их скорость близка к скорости Ферми ${\displaystyle v_{F}\approx 10^{6}}$ м/с. Принято говорить, что электрон в кристаллической решётке окружён «облаком» виртуальных фононов с дебаевской частотой. Чем больше поляризация, тем больше рождается виртуальных фононов. и тем сильнее связь электрона с решёткой. Энергия связи электрона с решёткой определяется константой электрон-фононного взаимодействия ${\displaystyle \lambda }$ :

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{3}}{\frac {E_{p}}{\hbar \omega _{D}}}.}$

Коэффициент ${\displaystyle 1/3}$ учитывает существование трёх ветвей спектра фононов, а ${\displaystyle \omega _{D}}$ — дебаевская частота.

Электрон-фононное взаимодействие приводит к тому, что масса полярона ${\displaystyle m_{p}}$ становится больше массы «голого» электрона ${\displaystyle m^{*}}$

${\displaystyle m_{p}\approx m^{*}(1+\lambda ).}$

Таким образом, поляроны в металлах являются отрицательно заряженными с зарядом ${\displaystyle -e}$ и эффективной массой ${\displaystyle m_{p}}$ .

Поляроны в полупроводниках

В полупроводниках с ковалентной связью продольные оптические колебания слабо влияют на электроны и дырки, так как кристаллическая решётка состоит из нейтральных атомов, и продольные колебания не поляризуют решётку. Константа электрон-фононного взаимодействия в таких веществах слишком мала ( ${\displaystyle \lambda \approx 0{,}002-0{,}01}$ ) для образования поляронов, и параметры зонного спектра и носителей заряда в полупроводниках не перенормируются в результате поляронного взаимодействия .

Поляроны в ионных кристаллах

Решётка ионных кристаллов образована положительно и отрицательно заряженными ионами, удерживаемыми вместе за счёт сил электростатического взаимодействия. Концентрация свободных электронов настолько мала, что электронный газ всегда невырожден, поэтому электроны и фононы находятся в тепловом равновесии. Поэтому при понижении температуры в ионных кристаллах может возникнуть автолокализация электронов в собственных потенциальных ямах за счёт притяжения к положительным ионам и отталкивания от отрицательных. При этом отрицательные и положительные ионы смещаются в противоположных направлениях, что эквивалентно возбуждению продольных оптических фононов, длина волны которых может варьироваться в широких пределах. Электроны эффективно взаимодействуют только с продольными оптическими колебаниями, длина волны которых больше расстояния, которое проходит электрон за период колебаний решётки, так как только в этом случае происходит изменение плотности кристалла, образование связанных электрических зарядов и поляризационного поля .

Различают поляроны большого и малого радиуса. Чем сильнее электрон поляризует решётку, тем больше эффективная зона поляризации и больше эффективная масса полярона. Размер полярона определяется соотношением между размером возмущенной области кристалла (радиусом полярона ${\displaystyle r_{p}}$ ) и постоянной решетки ${\displaystyle a}$ . Различают поляроны малого радиуса (при ${\displaystyle r_{p}<a}$ ) , промежуточного радиуса ( ${\displaystyle r_{p}\approx a}$ ), большого радиуса ( ${\displaystyle r_{p}\gg a}$ ). Спин полярона не зависит от радиуса и равен 1/2.

Поляроны малого радиуса

Неподвижный электрон, помещённый в кристалл, поляризует кристаллическую решётку. Энергия поляризации равна

${\displaystyle E_{p}\approx -{\frac {e^{2}}{\varepsilon ^{*}a}},}$

где ${\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon ^{*}}}={\frac {1}{\varepsilon ^{\infty }}}-{\frac {1}{\varepsilon ^{0}}}}$ , а ${\displaystyle \varepsilon ^{0}}$ и ${\displaystyle \varepsilon ^{\infty }}$ — статическая и высокочастотная диэлектрические проницаемости соответственно. При характерных значениях ${\displaystyle \varepsilon ^{0}\approx 10}$ , ${\displaystyle \varepsilon ^{\infty }\approx 3}$ , ${\displaystyle a\approx 0{,}5}$ нм энергия поляризации ${\displaystyle E_{p}}$ равна ${\displaystyle \approx 0{,}3}$ эВ.

Суммарная энергия полярона малого радиуса равна

${\displaystyle E_{p}+V=-{\frac {e^{2}}{r_{p}\varepsilon ^{*}}}}$

где ${\displaystyle V}$ — потенциальная энергия локализованного электрона, а ${\displaystyle r_{p}={\frac {\pi ^{2}\varepsilon ^{*}\hbar ^{2}}{m^{*}e^{2}}}}$ — характерный радиус полярона.

За счёт поляризации ионов решётки возбуждаются оптические фононы, поэтому эффективность поляризации можно характеризовать константой электрон-фононной связи ${\displaystyle \lambda }$ , характеризующая число оптических фононов, возбуждённых в решётке. Если ${\displaystyle W}$ — ширина электронной зоны, характеризующая кинетическую энергию электронов, то полярон может образоваться лишь при условии ${\displaystyle E_{p}>W}$ , и температура, ниже которой образуется полярон, задаётся соотношением

${\displaystyle T^{*}\approx {\frac {|E_{p}-W|}{k_{B}}}.}$

Поэтому образование поляронов возможно только в достаточно узкозонных кристаллах с характерным значением ${\displaystyle W\approx 0{,}2}$ эВ. При образовании поляронов электронная зона сильно сужается и образуется поляронная зона шириной ${\displaystyle W_{p}}$ , которую можно оценить по формуле

${\displaystyle W_{p}=W\exp(-\lambda ).}$

При типичных энергиях полярона ${\displaystyle E_{p}\approx 0{,}3}$ эВ и оптического фонона ${\displaystyle \hbar \omega _{0}\approx 0{,}3}$ эВ величина ${\displaystyle \lambda \approx 10}$ и ширина поляронной зоны ${\displaystyle W_{p}\approx W\exp(-10)=0{,}2e^{-10}}$ эВ, что на четыре порядка меньше исходной электронной зоны. Поэтому такая узкая зона реализуется только в идеальных совершенных кристаллах, любые нарушения кристалличности приводят к локализации таких поляронов.

При ${\displaystyle k_{B}T>\hbar \omega _{0}}$ полярон малого радиуса перемещается термически активированными скачками с энергией активации порядка энергии полярона. Подвижность поляронов растёт приблизительно экспоненциально с ростом температуры .

Поляроны большого радиуса

В отличие от поляронов малого радиуса, поляроны большого радиуса образуются в ионных кристаллах с широкой зоной проводимости ${\displaystyle \displaystyle {W\gg E_{p}}}$ , и константа электрон-фононной связи определяется выражением

${\displaystyle \lambda ={\frac {e^{2}{\sqrt {m^{*}\omega _{0}}}}{2\omega _{0}\varepsilon \hbar ^{3/2}}}\approx \mathrm {const} {\sqrt {\frac {\omega _{0}}{W}}}.}$

При ${\displaystyle \displaystyle {\lambda >10}}$ образуется полярон большого радиуса, а при слабой электрон-фононной связи ( ${\displaystyle \lambda <1}$ ) электрон поляризует решётку, но не локализуется в созданной им поляризационной яме. Расчёты дают выражения для массы и энергии полярона большого радиуса:

${\displaystyle m_{p}={\frac {m^{*}}{1-\lambda /6}},\ E_{p}=-\lambda \omega _{0}.}$

Для реальных кристаллов наиболее интересна область промежуточных значений ${\displaystyle 1<\lambda <10}$ . При этих значениях нельзя получить аналитических выражений, но численные расчёты показывают, что предыдущие две формулы справедливы до ${\displaystyle \lambda \approx 6}$ . Полная энергия полярона большого радиуса равна

${\displaystyle E_{0}=-{\frac {e^{2}}{r_{p}\varepsilon ^{*}}},}$

что в два раза меньше, чем аналогичная энергия для полярона малого радиуса .

Подвижность поляронов

Поляроны большого радиуса не меняют качественно зонный спектр кристалла, их подвижность уменьшается обратно пропорционально увеличению их эффективной массы, перенормируются также их плотность состояний и скорость.

У поляронов малого радиуса подвижность сильно зависит от температуры. Если при низких температурах волновые функции поляронов перекрываются, то это приводит к образованию поляронной зоны с обычным зонным механизмом проводимости. При повышении температуры образуется система локализованных поляронов, и зонный механизм сменяется прыжковым. Прыжковую проводимость можно рассматривать как диффузную проводимость

${\displaystyle \mu \approx \mu _{0}\exp \left(-{\frac {E_{0}}{2k_{B}T}}\right)}$ ,

где ${\displaystyle \mu _{0}\sim 1/T}$ .

Структура поляронов

В реальности поляроны имеют внутреннюю структуру, так как поляронные потенциальные ямы при сильном электрон-фононном взаимодействии образуются из набора оптических фононов с разными длинами волн. Поляронные ямы могут иметь несколько уровней энергии, соответствующих разным распределениям заряда и различным радиусам. Эти уровни могут размываться в зоны вследствие конечности времени существования полярона или в результате того, что параметры поляронных ям варьируются из-за неоднородности вещества. Также поляроны исчезают в сильных электрических полях, так как скорость полярона не может быть больше групповой скорости продольных оптических фононов. При увеличении дрейфовой скорости электрон отрывается от потенциальной ямы, и она исчезает .

Биполяроны

В некоторых веществах два полярона с одинаковыми зарядами могут взаимно связываться, образуя биполярон. Биполярон представляет собой квазичастицу, состоящую из двух электронов, лежащих в общей потенциальной яме. Заряд биполярона равен ${\displaystyle +2e}$ либо ${\displaystyle -2e}$ соответственно заряду объединившихся поляронов, а спин в основном ${\displaystyle s}$ -состоянии равен нулю. То есть биполяроны могут образовывать бозе-конденсат, так как подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна .

Примечания

Литература

• Брандт Н. Б. , Кульбачинский В. А. Квазичастицы в физике конденсированного состояния. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 632 с. — ISBN 5-9221-0564-7 .
• Пекар С. И. Исследования по электронной теории кристаллов. — М. — Л. : Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1951. — 256 с.
• Фейнман Р. Статистическая механика. — М. : Мир, 1975.
• Поляроны : сборник / под ред. Ю. А. Фирсова. — М. : Наука, 1975.
• Каширина Н. И., Лахно В. Д. Математическое моделирование автолокализированных состояний в конденсированных средах. - М. , Физматлит , 2014. - 292 с. - ISBN 978-5-9221-1530-8