Алгебра Мальцева — неассоциативная алгебра ${\displaystyle M}$ над полем ${\displaystyle F}$ , в которой бинарная мультипликативная операция подчиняется следующим аксиомам:

1. условию антисимметричности :

   ${\displaystyle g(A,B)=-g(B,A)}$

   для всех ${\displaystyle A,B\in M}$ .

2. тождеству Мальцева:

${\displaystyle J(A_{1},A_{2},g(A_{1},A_{3}))=g(J(A_{1},A_{2},A_{3}),A_{1})}$ для всех ${\displaystyle A_{k}\in M}$ , где ${\displaystyle k=1,2,\dots ,6}$ , и ${\displaystyle J(A,B,C):=g(g(A,B),C)+g(g(B,C),A)+g(g(C,A),B).}$

1. условию билинейности:

${\displaystyle g(aA+bB,C)=ag(A,C)+bg(B,C)}$

для всех ${\displaystyle A,B,C\in M}$ и ${\displaystyle a,b\in F}$ .

Алгебра Мальцева была введена в 1955 году советским математиком Анатолием Ивановичем Мальцевым .

Существует следующая взаимосвязь между альтернативными алгебрами и алгеброй Мальцева. Замена умножения g(A,B) в алгебре M операцией коммутирования [A,B]=g(A,B)-g(B,A), превращает её в алгебру ${\displaystyle M^{(-)}}$ . При этом, если M является альтернативной алгеброй , то ${\displaystyle M^{(-)}}$ будет алгеброй Мальцева. (Другими словами, для алгебр Мальцева существует аналог теоремы Пуанкаре — Биркгофа — Витта .) Алгебра Мальцева является одним из обобщений алгебры Ли , которая является частным примером алгебры Мальцева.

Для алгебр Мальцева имеет место теорема, аналогичная классической теореме о связи алгебры Ли и группы Ли . Касательная алгебра локальной аналитической лупы Муфанг является алгеброй Мальцева. Верно также и обратное утверждение: любая конечномерная алгебра Мальцева ${\displaystyle M}$ над полным нормированным полем ${\displaystyle F}$ характеристики 0 является касательной алгеброй некоторой локальной аналитической .

Литература

• Мальцев А. И. Математический сборник. — 1955. — Том 36. — № 3. — С. 569-76.
• Мальцев А. И. Избранные труды. Том 1. Классическая алгебра. — М.: Наука, 1976.
• Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 c.
• Mal’tsev A.I., Algebraic systems. — Springer, 1973.
• Filippov V.T., «Mal’tsev algebra», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4
• от 21 марта 2019 на Wayback Machine
• Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. . — М. : Наука , 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6 .

Ссылки

• Алгебра Мальцева — статья из Математической энциклопедии

См. также

• Алгебра Ли
• Альтернативная алгебра