Interested Article - Простые числа Рамануджана

Простые числа Рамануджана подпоследовательность простых чисел , связанная с теоремой Рамануджана , уточняющей постулат Бертрана относительно функции распределения простых чисел .

История

В 1845 году Бертран выдвинул гипотезу, что

для всех , где — функция распределения простых чисел, равная числу простых не превосходящих . Эта гипотеза была доказана Чебышёвым в 1850 году. В 1919 году Рамануджан, отметив приоритет Чебышёва, доказал в двухстраничной статье более сильную теорему, которая и задаёт последовательность простых чисел Рамануджана:

для всех соответственно (последовательность в OEIS ).

Определение

Простое число Рамануджана это наименьшее целое число, что для любого выполнено

Согласно теореме Рамануджана эта разность для всех не меньше и стремится к бесконечности.

Следует отметить, что обязательно является простым числом: , а следовательно и должно возрасти, что возможно только если простое.

Границы и асимптотика

Оценка посредством элементарных функций :

Оценка посредством простых чисел :

,

где -е простое число.

Асимптотика :

при

Уточнённая оценка сверху :

Все эти результаты были доказаны после 2008 года.

Примечания

  1. Ramanujan, S. (1919), , Journal of the Indian Mathematical Society , 11 : 181—182 . от 26 мая 2018 на Wayback Machine .
  2. Sondow, J. (2009), "Ramanujan primes and Bertrand's postulate", Amer. Math. Monthly , 116 (7): 630—635, arXiv : , doi :
  3. Laishram, S. (2010), (PDF) , (англ.) , 6 (8): 1869—1873, CiteSeerX , doi : от 12 ноября 2017 на Wayback Machine .
  4. Sondow, J.; Nicholson, J.; Noe, T. D. (2011), (PDF) , Journal of Integer Sequences , 14 : 11.6.2, arXiv : , Bibcode : . от 8 августа 2017 на Wayback Machine .
Источник —

Same as Простые числа Рамануджана