Interested Article - Простые числа Рамануджана
- 2021-02-14
- 1
Простые числа Рамануджана — подпоследовательность простых чисел , связанная с теоремой Рамануджана , уточняющей постулат Бертрана относительно функции распределения простых чисел .
История
В 1845 году Бертран выдвинул гипотезу, что
для всех , где — функция распределения простых чисел, равная числу простых не превосходящих . Эта гипотеза была доказана Чебышёвым в 1850 году. В 1919 году Рамануджан, отметив приоритет Чебышёва, доказал в двухстраничной статье более сильную теорему, которая и задаёт последовательность простых чисел Рамануджана:
для всех соответственно (последовательность в OEIS ).
Определение
Простое число Рамануджана это наименьшее целое число, что для любого выполнено
Согласно теореме Рамануджана эта разность для всех не меньше и стремится к бесконечности.
Следует отметить, что обязательно является простым числом: , а следовательно и должно возрасти, что возможно только если простое.
Границы и асимптотика
Оценка посредством элементарных функций :
Оценка посредством простых чисел :
- ,
где — -е простое число.
Асимптотика :
- при
Уточнённая оценка сверху :
Все эти результаты были доказаны после 2008 года.
Примечания
- Ramanujan, S. (1919), , Journal of the Indian Mathematical Society , 11 : 181—182 . от 26 мая 2018 на Wayback Machine .
- ↑ Sondow, J. (2009), "Ramanujan primes and Bertrand's postulate", Amer. Math. Monthly , 116 (7): 630—635, arXiv : , doi :
- Laishram, S. (2010), (PDF) , , 6 (8): 1869—1873, CiteSeerX , doi : от 12 ноября 2017 на Wayback Machine .
- Sondow, J.; Nicholson, J.; Noe, T. D. (2011), (PDF) , Journal of Integer Sequences , 14 : 11.6.2, arXiv : , Bibcode : . от 8 августа 2017 на Wayback Machine .
- 2021-02-14
- 1