Interested Article - Гладкие структуры на четырёхмерном евклидовом пространстве

Гладкие структуры на четырёхмерном евклидовом пространстве — примеры гладких многообразий гомеоморфных , но не обязательно диффеоморфных четырёхмерному евклидову пространству .

Четырёхмерное евклидово пространство допускает экзотические гладкие структуры, то есть не диффеоморфные четырёхмерному евклидову пространству. В размерностях, отличных от 4, экзотических гладких структур на евклидовом пространстве не существует.

История

Существование таких примеров было доказано в 1982 году Майклом Фридманом и другими. Доказательство использовало теорему Фридмана о топологических 4-мерных многообразиях, и теорему Саймона Дональдсона о гладких 4-мерных многообразиях.

Существования континуума различных гладких структур на $\mathbb {R} ^{4}$ было доказано сначала Клиффордом Таубесом .

До этого существование экзотических гладких структур было известно на сферах, хотя вопрос о существовании таких структур на 4-мерной сфере остаётся открытым (по состоянию на 2016 год).

Типы

Экзотическую гладкую структуру $\mathbb {R} ^{4}$ называется малой , если она диффеоморфна открытому подмножеству стандартом $\mathbb {R} ^{4}$ . В противном случае называется большой .

Ссылки

Topology of 4-manifolds (неопр.) . — Princeton, NJ: Princeton University Press , 1990. — Т. 39. — ISBN 0-691-08577-3 .
(неопр.) // Journal of Differential Geometry . — 1986. — Т. 24 , № 1 . — С. 69—78 . — ISSN . (недоступная ссылка)
Kirby, Robion C. The topology of 4-manifolds (неопр.) . — Berlin: Springer-Verlag , 1989. — Т. 1374. — ISBN 3-540-51148-2 .
Scorpan, Alexandru. The wild world of 4-manifolds (неопр.) . — Providence, RI: American Mathematical Society, 2005. — ISBN 978-0-8218-3749-8 .
(англ.) ( . (англ.) // (англ.) ( : journal. — 1962. — Vol. 58 , no. 3 . — P. 481—488 . — doi : . MR :
4-manifolds and Kirby calculus (неопр.) . — Providence, RI: American Mathematical Society, 1999. — Т. 20. — ISBN 0-8218-0994-6 .
(англ.) ( . (англ.) // Journal of Differential Geometry : journal. — 1987. — Vol. 25 , no. 3 . — P. 363—430 .