Произво́дная Гато́ — расширение концепции производной на локально выпуклые топологические векторные пространства . Название дано в честь французского математика (англ.) ( .

Определение

Пусть ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — нормированные пространства над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , а ${\displaystyle F}$ — отображение, действующее из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ . Если для некоторого ${\displaystyle x\in X}$ и некоторого ${\displaystyle h\in X}$ существует предел (сходимость понимается по норме пространства ${\displaystyle Y}$ )

${\displaystyle dF(x,h)=\left.{d \over dt}F(x+t\cdot h)\right\vert _{t=0}=\lim _{t\to 0}{F(x+t\cdot h)-F(x) \over t},}$

то его называют дифференциалом Гато (или слабым дифференциалом ) отображения ${\displaystyle F}$ в точке ${\displaystyle x}$ (на приращении ${\displaystyle h}$ ). Отображение ${\displaystyle dF(x,h)}$ также называют первой вариацией отображения ${\displaystyle F}$ в точке ${\displaystyle x}$ (на приращении ${\displaystyle h}$ ).

Дифференциал Гато обладает свойством однородности : если определён ${\displaystyle dF(x,h)}$ , то для любого ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$ будет определён ${\displaystyle dF(x,k\cdot h)=k\cdot dF(x,h)}$ .

Слабый дифференциал не обязан быть линейным по ${\displaystyle h}$ . Если линейность имеет место, то есть

${\displaystyle dF(x,h)=F'(x)\ h,}$

где ${\displaystyle F'(x)}$ — ограниченный линейный оператор, то ${\displaystyle F'(x)}$ называется слабой производной (или производной Гато ) отображения ${\displaystyle F}$ в точке ${\displaystyle x}$ .

См. также

• Производная Фреше

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4 .
• Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление — Любое издание.