Выпучивание — потеря конструкции при приложении внешней нагрузки, сопровождаемая изменением формы.

Задача Эйлера

Пусть для тонкой балки с постоянным поперечным сечением ( S ), опора которой имеет шарнирное неподвижное закрепление, а на второй конец закреплённый на подвижном шарнире, действует сила ( P ) направленная вдоль оси. Тогда при малой силе, напряжение в балке определяется выражением ${\displaystyle \sigma =P/S\,.}$ При увеличении силы после достижения критического значения происходит выпучивание, и балка приобретает кривизну

${\displaystyle \kappa =\pm {\frac {M}{EI}}\,,}$

где M — изгибающий момент , I — минимальный момент инерции сечения балки, E — модуль Юнга . Для пологой кривой кривизна запишется через прогиб ${\displaystyle v}$ в виде

${\displaystyle \kappa =\mp {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}\,,}$

где изгибающий момент равен ${\displaystyle M=\pm Pv\,.}$ Тогда

${\displaystyle EI{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}=-Pv\,.}$

Это дифференциальное уравнение второго порядка решается для граничных условий закрёплённых концов или v (0)= v ( l )=0, где l — длина балки. Что приводит к синусоидальной форме балки и значению для критической силы

${\displaystyle P_{c}={\frac {\pi ^{2}EI}{l^{2}}}\,,}$

которая называется формулой Эйлера.

Примечания

Литература

• Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. — М. : Наука, 1967. — 984 с.