Поверхности Долгачёва — это определённые односвязные , введённые Долгачёвым . Их можно использовать для получения примеров бесконечного семейства гомеоморфных односвязных компактных 4-многообразий, никакие два из которых не диффеоморфны.

Свойства

Раздутие X ₀ проективной плоскости в 9 точках можно реализовать как эллиптическое расслоение, в котором все слои неприводимы. Поверхность Долгачёва X _q получается путём применения порядков 2 и q к двум гладким слоям для некоторого q ≥ 3.

Поверхности Долгачёва односвязны и билинейная форма на второй группе когомологий имеет нечётную сигнатуру (1, 9) (так что это унимодулярная решётка I _1,9 ). Геометрический род p _g поверхности равен 0, а равна 1.

Дональдсон нашёл первые примеры гомеоморфных, но не диффеоморфных 4-многообразий X ₀ и X ₃ . Более общо, поверхности X _q и X _r всегда гомеоморфны, но не диффеоморфны, если только q не равно r .

Акбулут показал, что поверхность Долгачёва X ₃ имеет разложение на ручки без 1- и 3-ручек.

Примечания

Литература

• Selman Akbulut. . — 2008. — arXiv : .
• Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven. Compact Complex Surfaces. — Springer-Verlag, Berlin, 2004. — Т. 4. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.). — ISBN 978-3-540-00832-3 .
• Dolgachev I. Algebraic surfaces with p _g = g = 0 // Algebraic Surfaces, CIME 1977, Cortona, Liguori Napoli. — 1981. — С. 97—215.
• Donaldson S. K. // Journal of Differential Geometry. — 1987. — Т. 26 , вып. 1 . — С. 141–168 .