Рациональная поверхность — это поверхность, бирационально эквивалентная проективной плоскости , или, другими словами, размерности два. Рациональные поверхности являются простейшими из примерно 10 классов поверхностей классификации Энрикеса — Кодаиры комплексных поверхностей, и это были первые исследованные поверхности.

Структура

Любую неособую рациональную поверхность можно получить путём неоднократного минимальной рациональной поверхности. Минимальными рациональными поверхностями являются проективная плоскость и Σ _r для r = 0 или r ≥ 2.

Инварианты: Все равны 0 и фундаментальная группа тривиальна.

Ромб Ходжа :

                 1
           0          0
      1        1+n        1,
           0          0
                 1

где n равен 0 для проективной плоскости, 1 для и больше 1 для других рациональных поверхностей.

является нечётной унимодулярной решёткой I _{1, n} , за исключением Σ _{2 m} , для которых это чётная унимодулярная решётка II _1,1 .

Теорема Кастельнуово

Гвидо Кастельнуово доказал, что любая комплексная поверхность, для которой q и P ₂ (иррегулярность и второй плюрирод) равны нулю, является рациональной. Это используется в классификации Энрикеса — Кодаиры для распознавания рациональных поверхностей. Зарисский доказал, что теорема Кастельнуово верна также для полей положительной характеристики.

Из теоремы Кастельнуово следует также, что любая комплексная поверхность рациональна. Большинство унирациональных комплексных многообразий размерности 3 и выше не являются рациональными. Для характеристики p > 0 Зарисский нашёл пример унирациональных поверхностей ( ), не являющихся рациональными.

Одно время было неясно, являются комплексные поверхности с нулевыми q и P ₁ рациональными или нет, но Федериго Энрикес нашёл контрпример ( ).

Примеры рациональных поверхностей

• : Вложение степени 6 проективной плоскости в P ⁴ , определённое 10 точками в общем положении.
• Кубические поверхности . Неособые кубические поверхности изоморфны раздутию проективной плоскости в 6 точках, и являются плоскостями Фано. Существуют именованные примеры — кубика Ферма , и .
• (поверхности Фано)
• Поверхность Эннепера
• Σ _n
• P ¹ × P ¹ . Произведение двух проективных прямых является поверхностью Хирцебруха Σ ₀ .
• Проективная плоскость
• . Пересечение двух квадрик. Поверхность изоморфна проективной плоскости, раздутой в 5 точках.
• . Поверхность в P ⁴ с особенностями, которая бирациональна проективной плоскости.
• , обобщение поверхностей Бордига.
• Поверхность Веронезе . Вложение проективной плоскости в P ⁵ .

См. также

Примечания

Литература

• Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven. Compact Complex Surfaces. — Berlin: Springer-Verlag. — Т. 4. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge). — ISBN 978-3-540-00832-3 .
• Arnaud Beauville . Complex algebraic surfaces. — 2nd. — Cambridge University Press , 1996. — Т. 34. — (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-0-521-49510-3 .
• Oscar Zariski . // Illinois Journal of Mathematics. — 1958. — Т. 2 . — С. 303–315 . — ISSN .