Теорема Римана — Роха для поверхностей описывает размерность линейных систем на алгебраической поверхности . В классическом виде теорему первым сформулировал Кастельнуово после предварительных версий Макса Нётера и Энриквеса . Версия в терминах пучков принадлежит Хирцебруху.

Утверждение теоремы

Одна из форм теоремы Римана — Роха утверждает, что если D является дивизором несингулярной проективной поверхности, то

${\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+{\tfrac {1}{2}}D.(D-K)\,}$ ,

где χ — голоморфная эйлерова характеристика , символ «точка» — индекс пересечения , а K — канонический дивизор. Константа χ(0) является голоморфной эйлеровой характеристикой тривиального расслоения и равна 1 + p _a , где p _a — поверхности. Для сравнения, теорема Римана — Роха для кривой утверждает, что ${\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+deg(D)}$ .

Формула Нётера

Формула Нётера утверждает, что

${\displaystyle \chi ={\frac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}={\frac {(K.K)+e}{12}}}$ ,

где χ=χ(0) — голоморфная эйлерова характеристика, ${\displaystyle c_{1}^{2}=(K.K)}$ — число Чженя и число самопересечений канонического класса K , а ${\displaystyle e=c_{2}}$ является топологической эйлеровой характеристикой. Формула может быть использована для замены члена χ(0) в теореме Римана — Роха в топологических терминах. Это даёт для поверхностей.

Связь с теоремой Хирцебруха — Римана — Роха

Для поверхностей , по существу, является теоремой Римана — Роха для поверхностей, скомбинированной с формулй Нётера. Чтобы это видеть, напомним, что для любого дивизора D на поверхности существует обратимый пучок L = O( D ), такой, что линейная система дивизора D является более или менее пространством сечений L . Для поверхностей класс Тодда — это ${\displaystyle 1+c_{1}(X)/2+(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X))/12}$ , а характер Чженя пучка L — это просто ${\displaystyle 1+c_{1}(L)+c_{1}(L)^{2}/2}$ . Таким образом, теорема Хирцебруха — Римана — Роха утверждает, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (D)&=h^{0}(L)-h^{1}(L)+h^{2}(L)\\&={\frac {1}{2}}c_{1}(L)^{2}+{\frac {1}{2}}c_{1}(L)\,c_{1}(X)+{\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)\end{aligned}}}$

К счастью, формулу можно переписать в более ясном виде следующим образом. В первую очередь, полагая D = 0, получим, что

${\displaystyle \chi (0)={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)}$ (Формула Нётера)

Для обратимых пучков (линейных расслоений) второй класс Чженя равен нулю. Произведения вторых классов когомологий можно отождествить с числами пересечения в , и мы получаем более классическую версию теоремы Римана — Роха для поверхностей:

${\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+{\frac {1}{2}}(D.D-D.K)}$

При желании мы можем использовать двойственность Серра для выражения ${\displaystyle h^{2}(\mathrm {O} (D))}$ как ${\displaystyle h^{0}(\mathrm {O} (K-D))}$ , но, в отличие от случая кривых, не имеется в общем случае простого пути записать член ${\displaystyle h^{1}(\mathrm {O} (D))}$ в форме, не использующей когомологии пучков (хотя, на практике, он часто обращается в нуль).

Ранние версии

Наиболее ранние формы теоремы Римана — Роха для поверхностей часто формулировались в виде неравенств, а не равенств, поскольку не было прямого геометрического описания групп первой когомологии. Типичный пример формулировки дал Зарисский , в которой утверждается

${\displaystyle r\geqslant n-\pi +p_{a}+1-i}$ ,

где

• r — размерность полной линейной системы | D | дивизора D (так что ${\displaystyle r=h^{0}(\mathrm {O} (D))-1}$ )
• n — виртуальная степень дивизора D , задаваемая числом самопересечений ( D . D )
• π — виртуальный род дивизора D , равен 1 + (D.D + K.D)/2
• p _a — арифметический род ${\displaystyle \chi (\mathrm {O} _{F})-1}$ поверхности
• i — индекс специфичности дивизора D , равен ${\displaystyle dimH^{0}(\mathrm {O} (K-D))}$ (что, согласно двойственности Серра, равно ${\displaystyle dimH^{2}(\mathrm {O} (D))}$ ).

Разность двух частей этого неравенства называется избыточностью s дивизора D . Сравнение этого неравенства с версией теоремы Римана — Роха с пучками показывает, что избыточность дивизора D задаётся равенством ${\displaystyle s=dimH^{1}(\mathrm {O} (D))}$ . Дивизор D назывался регулярным , если ${\displaystyle i=s=0}$ (или, другими словами, если все группы высоких когомологий O( D ) обращаются в нуль) и избыточным , если ${\displaystyle s>0}$ .

Примечания

Литература