Выпуклый функционал — функционал , являющийся выпуклой функцией , то есть, надграфик которого является выпуклым множеством .

Формально, функционал ${\displaystyle p}$ , определённый на линейном пространстве ${\displaystyle L}$ , называется выпуклым, если выполнено :

${\displaystyle p(\alpha x+\beta y)\leq \alpha p(x)+\beta p(y)\ ,\forall x,y\in L,\forall \alpha ,\beta \geqslant 0,\alpha +\beta =1}$ .

Примерами выпуклых функционалов являются полунорма , норма , линейный функционал и функционал Минковского выпуклого и симметричного множества.

Если ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ — выпуклые функционалы, ${\displaystyle \alpha }$ — положительное число, то следующие функционалы являются выпуклыми:

• ${\displaystyle (p+q)(x)=p(x)+q(x)}$
• ${\displaystyle (\alpha p)(x)=\alpha p(x)}$
• ${\displaystyle (p\vee q)(x)=\max(p(x),q(x))}$
• Инфимальная конволюция: ${\displaystyle (p\oplus q)(x)=\inf _{y+z=x}(p(y)+q(z))}$

Теория выпуклых функционалов используется в выпуклом программировании .

Ссылки

• Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3 .
• Выпуклый функционал — статья из Математической энциклопедии . В. М. Тихомиров

Примечания

Литература

• Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. — М. : Наука, 1969. — 150 с.