Расстояние Минковского ( метрика Минковского ) — параметрическая метрика на евклидовом пространстве , которую можно рассматривать как обобщение евклидова расстояния и расстояния городских кварталов . Названа в честь немецкого математика Германа Минковского , впервые систематически изучившего данное семейство функций расстояния.

Расстояние Минковского порядка ${\displaystyle p}$ между двумя точками ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$ определяется как

${\displaystyle \rho (x,y)=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}\right)^{1/p}}$ .

Для ${\displaystyle p\geqslant 1}$ расстояние Минковского является метрикой вследствие неравенства Минковского .

Для ${\displaystyle p<1}$ расстояние не является метрикой, поскольку нарушается неравенство треугольника .

При ${\displaystyle p=\infty }$ метрика обращается в расстояние Чебышёва .

В приложениях чаще всего используют функцию расстояния с параметром ${\displaystyle p}$ , равным 1 ( расстояние городских кварталов ) или 2 ( евклидова метрика ) .

Схожая параметрическая конструкция в функциональном анализе — норма на пространствах ${\displaystyle L^{p}}$ , которая вводится подобным образом .

Примечания

Литература

• Deza, M. M. , Deza, E. Encyclopedia of Distances (англ.) . — Fourth Edition. — Springer , 2016. — ISBN 978-3-662-52843-3 . — doi : .